相加・相乗平均の問題で

質問

数学の相加・相乗平均の問題が、テキストを見てもわかりませんでした。どなたかわかる方、解説をお願いいたします。よろしくお願いします。

直角三角形の斜辺がｘのとき、この直角三角形の面積Ｓの最大値を求めなさい。

回答No.1

mister_moonlight

ｘを定数と見て解答する。

他の2辺をa、bとすると、a＾2＋b＾2＝ｘ＾2　‥‥(1)
2Ｓ＝ab　‥‥(2)　で、a＞0、b＞0より相加平均・相乗平均から、a＾2＋b＾2≧2ab。‥‥(3)　等号はa＝bの時。
(3)に(1)と(2)を使うと、ｘ＾2≧4Ｓ。つまり、Ｓの最大値はｘ＾2/4.
等号は、a＝bから(1)より、a＝b＝ｘ/√2　（直角2等辺三角形の時）。

お礼

ありがとうございました。