三角比の問題なんですが・・・

質問

問、∠BAC=４０度、∠ABC=８０度、∠ACB=６０度の三角形ABCがある。
∠ACBからABに垂線をおろし、交点をDとする。
このとき、∠ACD=５０度、∠BCD=１０度となる。
AD=６３cmのとき、ABの長さとして妥当なものはどれか。

１）６８．８cm
２）７０．２cm
３）７２．５cm
４）７８．０cm
５）８２．３cm

この問題、三角関数の早見表がないとできないような気がするんですけど、解けるのでしょうか。

わかる方いましたら教えてください！
よろしくお願いいたします。

回答No.3

noname#160071 · ベストアンサー

2段階に分けて考えます。

■第一ステップ
∠ABC>∠BACなので、AD/AB>∠ACD/∠ACB

ゆえに、AB<AD×∠ACB/∠ACD=63×(60度/50度)=63×(6/5)=75.6

■第二ステップ
正弦定理から、

63/sin60度=AC/sin90度
AC/sin80度=AB/sin60度

これを解いて、

AB=63×sin60度/(2×sin50度×sin80度)=(63/4)√3/[{1-(cos50度)^2}cos50度]

ここで、f(t)=1/{(1-t^2)t^2}(-1≦t≦1)とすると、f(t)<0なのでf(t)は単調減少関数。

したがって、

AB>(63/4)√3/[{1-(cos60度)^2}cos60度]
=(63/4)√3/[{1/(1/2)^2)}×(1/2)]
=42√3
>42×1.73
=72.66

■第3ステップ（結論）
第1、第2ステップから、72.66<AB<75.6となって、該当する妥当な選択肢は無いという結論になります。

回答No.5

naniwacchi

こんばんわ。
ABの長さを求めるには、BD＝ dが求まればよいのですが、
そのためには CDの長さも求めないといけません。

これら 2つの未知数について連立方程式を立てて解いていきます。
最終的に、dの 3次方程式になります。
因数分解できる形にはなりません。

結果、どこかで近似値的に求めることになります。

ちなみに計算では、AB＝ 72.321cmとなりました。

回答No.4

noname#160071

ANo.3ですが、文中のf(t)<0はf'(t)<0の書き間違いでした。失礼しました。

回答No.2

info22_

CD=ADtan40°=63tan40°
AB=CDtan50°+CDtan10°=63tan40°(tan50°+tan10°)
=63tan40°tan60°{1-tan50°tan10°}
=63√3tan40°(1-tan50°tan10°)
≒72.321222 ⇒ 3)の72.5がもっとも近い

>三角関数の早見表がないとできないような気がするんですけ
三角関数表がないと上の式を手計算では計算するのは無理ですね。

考え方を変えれば
直線定規(mm目盛り付き)と分度器があれば、図を描けますので、AD=63cmとADの実寸(a cmとする)と、ABの実寸(b cm)を測って、AB=63*(b/a)で近似値が計算できます（有効桁数３桁でよい）。
これなら、三角関数表がなくてもABが求められ答えが３）と求められます。

回答No.1

ferien

＞この問題、三角関数の早見表がないとできないような気がするんですけど、解けるのでしょうか。
早見表を使って解きました。（使っても良いのなら、以下が一番簡単です。）
ＡＤ／ＤＣ＝tan５０度，ＢＤ／ＤＣ＝tan１０度より、ＡＤ＝６３だから、
６３／tan５０度＝ＢＤ／tan１０度より、
ＢＤ＝６３×tsn１０度／tan５０度　
tan１０度＝0.1763，tan５０度＝1.192から、
ＢＤ＝９.３１７８６９１より、ＡＢ＝７２.３１７８６９１だから、
３）になると思います。