極限

質問

以下、添字(下付文字)を"[]"で囲んで表します。
問　a[1]=1の数列{a[n]}の第n項までの和をS[n]とすると、
a[n]^3 + 3a[n]S[n](S[n] - a[n]) = n^2
(n=1,2,3,....)
が成り立つ。このとき
n→∞のときのa[n]の極限を求めよ。

この問題が分からないので解法を教えてください。

回答No.1

oshiete_goo · ベストアンサー

a[n]^3 + 3a[n]S[n](S[n] - a[n]) = n^2 ・・・(1)
a[1]=1・・・(2)

以下では a[0]=S[0]=0・・・(3) と定義する.
すると,　すべてのn≧1で
a[n]=S[n]-S[n-1] ・・・(4)
S[n-1]=S[n]-a[n] ・・・(5)
が形式的に成立する.

すると(4),(5)により
(1)⇔a[n](a[n]^2 +3S[n]*S[n-1]) = n^2
⇔(S[n]-S[n-1]){(S[n]-S[n-1])^2 +3S[n]*S[n-1]} = n^2
⇔(S[n]-S[n-1])(S[n]^2 +S[n]*S[n-1] +S[n-1]^2) = n^2
⇔S[n]^3 -S[n-1]^3 = n^2 ・・・(6)
(ただしn≧1)

(6)の1,2,3,・・・,nの場合を考えて和をとると
　S[n]^3 -S[0]^3=Σ_{k=1～n}k^2=(1/6)n(n+1)(2n+1)
⇔S[n]^3=(1/6)n(n+1)(2n+1)・・・(7) [∵(3)よりS[0]=0]

すると
S[n-1]^3=(1/6)n(n-1)(2n-1)・・・(8)
(6)より
S[n]^3 -S[n-1]^3 = n^2
⇔(S[n]-S[n-1])(S[n]^2 +S[n]*S[n-1] +S[n-1]^2) = n^2
⇔(a[n]=)S[n]-S[n-1]＝ n^2／(S[n]^2 +S[n]*S[n-1] +S[n-1]^2)
⇔a[n]＝ n^2／(S[n]^2 +S[n]*S[n-1] +S[n-1]^2)

ここで
lim_{n→+∞}(S[n]/n)=lim_{n→+∞}(S[n]^3/n^3)^(1/3)=(1/3)^(1/3)=1/{3^(1/3)} [＝α と置く]
また，lim_{n→+∞}(S[n-1]/n)=(1/3)^(1/3)=1/{3^(1/3)}=α
もいえて，
a[n]＝ n^2／(S[n]^2 +S[n]*S[n-1] +S[n-1]^2)＝1/{(S[n]/n)^2+(S[n]/n)(S[n-1]/n)+(S[n-1]/n)^2}
より
lim_{n→+∞}a[n]＝1/(3α^2)=1/{3^(1/3)}　・・・(答)

お礼

どうもご丁寧にご解説いただきありがとうございました！おかげさまで時間はかかったものの明確に理解することができました！ご尽力に感謝します！