物理学についての質問です

質問

高さh の崖の上から質量mの玉を、初速度Vo・角度θで、対岸に向かって投げた。
崖の下には長さwの川がある。
川に落ちないで対岸まで玉が届くように投げるための、Voの条件を書け。

この問題が分かりません。
「運動を解く＝位置と速度を時間の関数として解くこと」というヒントをもらいましたが、よく意味が分かりません。
ご教授お願いします。

回答No.1

Quarks · ベストアンサー

ボールに加わっている力は、重力（鉛直下向き）だけです。
このことを利用して、ボールの運動を、水平方向と鉛直方向とに分けて考えます。
(1)ボールは、水平方向には力を受けていませんから、等速度運動をします。（加速度が無い運動です）
投げ出した点を原点に取り、水平方向で、ボールが進んでいく方向にｘ軸を取ります。
ｘ軸方向の速度（Ｖxとします）は一定です。
投げ出されたときの初速度を分解して、
　Ｖx＝Ｖ0・cosθ
ボールのｘ座標は、等速直線運動の公式から
　ｘ＝Ｖx・ｔ＝Ｖ0・ｔ・cosθ
で表されます。
(2)鉛直方向には、鉛直下向きに重力が常に加わっていますから、加速度＝重力加速度(ｇ) を鉛直下向きに受ける、等加速度運動になります。鉛直方向の初速度　Ｖ0・sinθ で投げ出された、鉛直投げ上げ運動をするのです。
鉛直上向きに　ｙ軸を取ると
ｙ軸方向の速度（Ｖyとします）は、鉛直投げ上げ運動の公式から
　Ｖy＝Ｖ0・sinθ－ｇｔ
ボールのｙ座標は
　ｙ＝Ｖ0・ｔ・sinθ－(1/2)ｇ・ｔ^2
で表されます。

さて、投げたボールが、川の対岸に着地したとします。
「川の対岸」とは、ｘ＝ｗ，ｙ＝－ｈ　の座標点という意味です。
このことを、上の公式群に当てはめて書くと

ｘ＝Ｖ0・ｔ・cosθ＝ｗ
ｙ＝Ｖ0・ｔ・sinθ－(1/2)ｇ・ｔ^2＝－ｈ

もちろん、両式のｔは同じ値であるはずです。ここで、両式から　ｔ　を消去してしまうと
　ｔ＝ｗ/(Ｖ0・cosθ)
ですから
　－ｈ＝Ｖ0・{ｗ/(Ｖ0・cosθ)}・sinθ－(1/2)ｇ・{ｗ/(Ｖ0・cosθ)}^2
となります。さらに数学公式
　1+(tanθ)^2=1/{(cosθ)^2}
などを使って変形すると
　ｈ＝－ｗ・tanθ＋{(ｇ・ｗ^2)/(2・Ｖ0^2)}(１＋(tanθ)^2)
整理して
　Ｖ0=…
問題設定から、Ｖ0がこの値より大きければ対岸に届くことは明らかなのですから
　Ｖ0>=…
とすれば良いでしょう。

お礼

お礼が遅れてしまい、大変申し訳ありませんでした。
物理学の基礎から勉強し直そうと思います。
ありがとうございました。