物理の質問です

質問

運動方程式を微分方程式と扱う問題です。

質量mの粒子が、重力のほかに速度に依存する抵抗m(λv+μv~2)を受けながら、初速度0から鉛直に落下するとき 速度と落下距離時間の関数として求めよ

eomを立てるところまでしか手がつかない状況です。
至急回答いただけたらありがたいです…

回答No.2

Quarks · ベストアンサー

下向きを正にとって、時刻ｔにおける速度をｖとすると、運動方程式は
m・(dv/dt)=mg-mλv-mμv^2
となります。これを、数学的に解くことになります。
少し整理してみると、変数分離できて
dv/{v^2+(λ/μ)・v-(g/μ)}=-μ・dt
式を見易くするために、
λ/μ=2α
g/μ=β
とでもしてみましょう。すると、
dv/(v^2+2αv-β)=-μdt　式（ア）

ここからは、純数学的な手法で解いてみます。
v^2+2αv-β=0
の解は
v=-α±√(α^2+β)
ですから
√(α^2+β)=γ　とおいてみると
1/(v^2+2αv-β)
=1/(v+α+γ)(v+α-γ)
これは部分分数に分けられて
k{1/(v+α-γ)-1/(v+α+γ)}
と変形できて
k=1/(2γ)ですから、微分方程式（ア）は
dv/{(1/(v+α-γ)-(1/(v+α+γ))}=-2γμdt
と整理できました。辺々積分して
log|(v+α-γ)/(v+α+γ)|=C'+(-2μγ)t
あるいは
|(v+α-γ)/(v+α+γ)|=C・e^(-2μγt)　式（イ）
C'やCは積分定数です。

t=0でv=0でしたから
C=|(α-γ)/(α+γ)|
γ=√(α^2＋β)でしたから
γ>αに決まっています。
なので
C=(γ-α)/(γ+α)
です。

また、初速度０で出発したのですから
v+α-γ
は、α-γが負ですから、vが小さい間では
v+α-γ<0
ですね。
|v+α-γ|=γ-α-ｖ
です。これを考慮すると
（イ）は
(γ-α-v)/(γ+α+v)={(γ-α)/(γ+α)}・e^(-2μγt)　式（ウ）

これを更に、v=…　の形式に変形することもできますが、あまり綺麗な形とは言えないようです。
途中の変形は省略して
v=(γ^2-α^2)/{α＋γ・(tanh(μγt))^(-1)}}　式（エ）
となるようです。

ちなみに、終端速度v∞ は（ウ）で t→∞ の極限での v の極限値として与えられるものですが
v∞=γ-α=(1/(2μ))・(√(λ^2+4μg)-λ)
となりますが、これは
m・(dv/dt)=mg-mλv-mμv^2
でdv/dt=0とした（終端速度に達した後は、加速度は０になります）
μv^2＋λv-g=0
をｖに関する２次方程式として見て、解いたときの解に当たります。

つづいて位置を時間関数として表せという課題ですが、数学的には（ウ）や（エ）で
v=dy/dtとして、ｔ＝０でｙ＝０という初期条件で解くことに当たりますが、力不足で解を示すことができません。

回答No.1

noname#175206

ヒントだけ。
　要は、速度に比例の抵抗と、速度に自乗の抵抗を受けるわけですね。
　教科書の、多分流体力学のところに、（空気中の自由落下として、かな）速度に比例の抵抗の場合と、速度に自乗の抵抗の場合の、微分方程式と解法はあるはずです（もしくは類似例）。
　自由落下の式でなければ、真空中の自由落下の速度の微分方程式と、その解も考えればいいことです。

　ここで大事なのは「重ね合わせ」が効くこと、つまり、上記二つ（または流体抵抗二つと自由落下の一つ）の単純な足し算で結果が求まるよう、物理学は組み立てられています。

　ポイントは、速度の微分方程式を選んでおくことでしょうか。時々刻々の（要は時刻tにおける）速度を、まず求めること。位置はそれから簡単にも求められます。
　注意点は、重力による落下を、結果の式に二重に足しこまないこと、でしょうか。