理科総合Ａの物理についての質問です。

質問

【問】
振り子を使って物体を飛ばすときの飛距離が重力加速度や物体の質量に関係ないことを説明しなさい。

【ヒントには】
物体の位置から振り子の最下点までの高さを[h1]、最下点から地上までの高さを[h2]、物体の質量を[m]、重力加速度を[g]、物体の速度を[v]、振り子の最下点から地上に飛ぶまでの時間を[t]とし、物体の飛距離を[X]とするとX=vt=√(2*gh1)*√(2*gh2/g)=√(4*gh1h2/g)=2√(h1h2)となる、と書かれています。

【回答欄には指定があって】
・重力加速度が大きくなっても、○○は・・なり、□□は・・となるため、距離Ｘは変わらない。
・質量が大きくなっても、○○は・・なり、□□は・・となるため、距離Ｘは変わらない。
となっています。

よく分からないので、お願いします。

回答No.1

static_puts

問題文を読む限りでは、これは「最初振り子の最下点からh1の高さにある物体を振り子に吊り下げ、振り子を動かして最下点からものを飛ばす」という事なのでしょうね。

与えられた条件のもとで飛距離を計算した時の式は、確かに[ヒント]のとおりです。まず、ここについて説明します。

エネルギーについては学んだでしょうか？

力学的エネルギーの保存則から
mgh1=mv^2 /2
という式が得られます(ただし、位置エネルギーについては振り子の最下点を基準としました)。これを解くと
v=√2gh1
として、初速度が得られます。

この速度は、振り子のふれを考えてもらえばわかるとおり、水平向き(重力加速度の方向に直交する向き)です。そして、この時鉛直下向きの速度は0です。振り子から離れた瞬間、横向きにv,下向きに0の速度を持っている、というわけですね。

下向きには重力加速度gで等加速度運動していますから、その速度はgtで与えられ、t秒後には gt^2 /2 だけ落下しています。この落下距離がh2になった時、物体は地上に着地するわけですから
h2 = gt^2 /2
これを解いて
t=√ (2h2/g)
となります。

横向きには、v=√2gh1で等速度運動していますから(摩擦を無視すれば、加速度を与える要因はありません)、t=√ (2h2/g)たった時、水平方向への移動距離(=振り子の最下点から着地場所までの水平距離)は確かに
vt=2√h1h2
で与えられます。

従って、重力加速度が大きくなったとしても、初速度がgの平方根に比例して速くなり、それに応じて落下するのに要する時間も短くなるため、距離Xは変わらない、という答えだと思います。質量については、質量が大きくなっても初速度は質量によらないため一定のものとなり、距離Xは初速度によって定まる値となるため、変わらない、でしょうか。

解答欄が難しいですね。