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行列について教えてください。
行列についていくつか質問させて下さい。 １）(A+B)^-1の結果 （^-1は逆行列です。自分ではそのままA^-1+B^-1だ と思うのですが・・・） ２）置換行列について 例えば、線形方程式Ax=b(A:正方行列,x:求める解)を解く問題でA^=PAQ,x^=Q^-1x,b^=Pbと置換行列P,Qを用いてその後の処理（行列分割）を行うと、本で読んだのですがなぜ、置換行列を使っておきかえるのでしょうか？ 置換しなくてもその後の処理（行列分割）はできると思います。 一つでもいいので解かる方よろしくお願いします。
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＃２のKENZOUです。 ＞（A+B）^-1の逆行列の定義式はないのでしょうか？ 参考書調べたり、ネットで調べても載っていないもので・・・ （AB）^-1=B^-1A^-1という感じに まず逆行列の定義を思い出しましょう。行列Ａ（正則）の逆行列Ａ^-1は、単位行列（対角成分が1でそれ以外0）をＥとすると ＡＡ^1＝Ｅ (1) で定義されるものですね。いちいち行列の中身を書くのは面倒なので行列演算を代数的にやることにしましょう（この方が簡単）。行列の積ＡＢの逆行列をＣとすると ＡＢＣ＝Ｅ (2) ここでＣ＝B^-1Ａ^-1とおくと ＡＢＢ^-1Ａ^-1 (3) ＢＢ^-1＝Ｅなので(3)は ＡＥＡ^-1＝ＡＡ^-1＝Ｅ (4) となり、これから (ＡＢ)^-1＝Ｂ^-1Ａ^-1 (5) が導けますね。同様に （ＡＢＣ）^-1＝Ｃ^-1Ｂ^-1Ａ^-1 (6) となることも確認してください。 さて、行列の和Ａ＋Ｂの逆行列をＣとすると、残念ながら Ｃ＝Ａ^-1＋Ｂ^-1 とはならない。これを上の代数的論法で調べて見ましょう。Ａ＋Ｂが逆行列を持つとしてそれをＣとおくと (Ａ＋Ｂ)Ｃ＝Ｅ (7) が成り立つ。いまＣ＝Ａ^-1＋Ｂ^-1と置けば(7)より Ｅ＋ＡＢ^-1＋Ａ^-1Ｂ＋Ｅ≠Ｅ となって(7)が成り立たない。つまり逆行列ＣはＣ＝Ａ^-1＋Ｂ^-1で与えられないということになります。行列Ａ＋Ｂは難しく考えなくても一つの行列となりますから、その逆行列は＃２で書いた方式で求めれば良いわけです。
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- KENZOU
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＞１）(A+B)^-1の結果 （^-1は逆行列です。自分ではそのままA^-1+B^-1だ と思うのですが・・・） 残念ですがちがいますね。逆行列の定義を調べてみましょう。簡単のため３行３列の行列Ａ、Ｂを Ａ＝｜ａ11 ａ12 ａ13｜ ｜ａ21 ａ22 ａ23｜ ｜ａ31 ａ32 ａ33｜ Ｂ＝｜ｂ11 ｂ12 ｂ13｜ ｜ｂ21 ｂ22 ｂ23｜ ｜ｂ31 ｂ32 ｂ33｜ とします。行列Ａの値を《Ａ》とするとＡの逆行列Ａ^-1は Ａ^-1＝ ｜Ａ11/《Ａ》 Ａ12/《Ａ》 Ａ13/《Ａ》｜ ｜Ａ21/《Ａ》 Ａ22/《Ａ》 Ａ23/《Ａ》｜ ｜Ａ31/《Ａ》 Ａ32/《Ａ》 Ａ33/《Ａ》｜ となります。ここでＡ11とかは余因子というものですね。 Ｂ^-1の計算も全く同じですね(余因子については参考ＵＲＬ）。 さて、行列Ａ，Ｂの和それぞれの各成分の和となりますね。和の行列をＣとすると、Ｃを具体的に書けば Ｃ＝Ａ＋Ｂ＝｜ａ11＋ｂ11 ａ12＋ｂ12 ａ13＋ｂ13｜ ｜ａ21＋ｂ21 ａ22＋ｂ22 ａ23＋ｂ23｜ ｜ａ31＋ｂ31 ａ32＋ｂ32 ａ33＋ｂ33｜ これからＣの逆行列が求まりますが、これは Ｃ^-1≠Ａ^-1＋Ｂ^-1 となりますね。具体的に数値を入れて計算すれば納得できると思いますので、ＴＲＹして見てください。
補足
丁寧な回答ありがとうございました。 納得しました。確かによく考えると違いますね。 SCILABでも確認しました という事は実際に、（A+B）^-1の逆行列の定義式はないのでしょうか？ 参考書調べたり、ネットで調べても載っていないもので・・・ （AB）^-1=B^-1A^-1という感じに そのときその時のA,Bの値によって決まるものなのでしょうか？ つまり、行列レベルではなく行列要素レベルでないと決められないのでしょうか？
- motchandesu
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1) 違います。 たとえば、Aとして1行1列のみ1,Bとして2行2列のみ1 の2×2行列を考えてみてください。A^-1 は存在しません。 2) 簡単に解くためです。一種のテクニックですね。 論理的にも、重要ですが。
補足
丁寧な回答ありがとうございました。 納得しました。確かによく考えると違いますね。 という事は実際に、（A+B）^-1の逆行列の定義式はないのでしょうか？ 参考書調べたり、ネットで調べても載っていないもので・・・ （AB）^-1=B^-1A^-1という感じに そのときその時のA,Bの値によって決まるものなのでしょうか？ つまり、行列レベルではなく行列要素レベルでないと決められないのでしょうか？
お礼
ありがとうございました。 おかげで行列に対して少し理解が深まりました。