変換の行列を作ろうと思って内積が出てきた場合

質問

空間の直線に対する対称移動の行列Tを作ろうと思って計算したところ
直線のベクトルa=(a b c)

Tx = ( (2a・x) / (||a||^2) ) a - x

というのがでてきました。
ここから
Tx=Axを満たす３次正方行列Aを求める方法がわかりません。
教えていただけないでしょうか。
よろしくお願いします。

回答No.2

noname#95312 · ベストアンサー

ベクトルを a_、x_ という風に書くことにします。

T：x_ → {(2a_・x_)/(||a_||^2)}a_-x_　ですね。

基本ベクトルを e1_、e2_、e3 とすると、x_ に e1_ 等を代入して
T(e1_)、T(e2_)、T(e3_) を求め、それぞれを縦ベクトルとして表わし
それを列要素とする行列を作れば良いのです。

T(e1_)={(2a_・e1_)/(||a_||^2)}a_-e1_
={(2a)/(||a_||^2)}a_-e1_
=[{(2a)/(||a_||^2)}（a　b　c）-（1　0　0）]~T

T(e2_)={(2a_・e2_)/(||a_||^2)}a_-e2_
={(2b)/(||a_||^2)}a_-e1_
=[{(2b)/(||a_||^2)}（a　b　c）-（0　1　0）]~T

T(e3_)={(2a_・e3_)/(||a_||^2)}a_-e3_
={(2c)/(||a_||^2)}a_-e1_
=[{(2c)/(||a_||^2)}（a　b　c）-（0　0　1）]~T

~T は縦行列への転置を意味します。

これらから求める行列、A は、
A=[{(2a^2)/(||a_||^2)}-1　　{(2ab)/(||a_||^2)}　　　　{(2ac)/(||a_||^2)}　　]
　 [{(2ab)/(||a_||^2)}　　　　{(2b^2)/(||a_||^2)}-1　　{(2bc)/(||a_||^2)}　　]
　 [{(2ac)/(||a_||^2)}　　　　{(2bc)/(||a_||^2)}　　　　{(2c^2)/(||a_||^2)}-1]

となります。

お礼

ありがとうございます
なんとかなりそうです

回答No.1

PRFRD

' を転置の記号とすれば，
　(a・x) a = a (a・x) = a (a' x) = (a a') x
となります．最後の a a' が 3x3 行列になることに注意してください．

後は適当に整理していけば A = 2(a a')/||a||^2 - I となります．

お礼

ありがとうございます
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