無理数について

質問

√2 のような無理数を小数点以下5桁、10桁など適当なところで区切って実際に乗算すると、『9が連続した後に9以外の数値が現れる』という規則性に気づきます。
この規則は常に成り立つのでしょうか？（質問1）つまり限りなく2よりも少し小さい、ということが常に成り立つのかということです。質問1の回答がYESだとして、ルート2（に限らずこのような無理数）が限りなく2よりも "少し大きい" ということにならない（しない）のはなぜでしょうか？（質問2）つまり√2であれば、なぜ2.000000 と 0が無限に続いた後に0以外の数値が現れるような数値にならないのか？ということです。
中学生が理解できる回答を望みます。

回答No.3

TooManyBugs · ベストアンサー

答１　平方根の平方で有れば成り立つが無理数一般には成り立たない。

答２　例　√２の場合　1.41213562373・・・・・小数点５位までをa、切り捨てた下位をbとすれば
　　　　　　(a+b)^2 = a^2 +2ab+b^2 = 2 である。
移項すると　a^2 = 2 - 2ab - b^2
　　　　　　a,b は正数であるから2ab,b^2はいずれも正数であるから　a^2 < 2 である。

お礼

ご回答ありがとうございます。
２つの質問にご回答くださりわかりやすく理解できました。

回答No.5

fjnobu

ある桁数で数値を切り捨てるから、９の並びになるのです。最後か少し上はは９以外の数値になります。
最後の桁を切り上げれば、当然元の数より少し大きくなります。

お礼

ご回答ありがとうございます。

回答No.4

DJ-Potato

適当なところで区切って計算するということは、適当なところ以下を切り捨てているからです。
√2よりもちょっと小さい数の2乗なので、２よりもちょっと小さい数になるのです。

逆に適当なところ以下を切り上げた場合、
√2よりもちょっと大きい数の2乗なので、２よりもちょっと大きい数になります。

普通の電卓で整数の平方根を求めると、８ケタとか12ケタ以下切り捨てて表示されるので、必ず「ちょっと小さい」側の数、つまり1.999…の方が出てきます。
エクセルなどを用いた場合、表示形式によっては四捨五入している場合があるので、2.000…の方が出てくる場合もあるでしょう。

お礼

ご回答ありがとうございます。

回答No.2

151A48

よく分かりませんが・・・，計算のプログラムの仕組みが，√２　だったら
１と２の間
１．４と１．５の間
１．４１と１．４２の間
１，４１４と１．４１５の間
・・・・
・・・・
と必要な桁数まで調べて，下の数を採用しているからではないでしょうか。もし，上の数を採用すれば，あなたのおっしゃるように，２．００００・・・（０でない）　ということになるでしょう。

お礼

ご回答ありがとうございます。

回答No.1

tsuyoshi2004

仮に、√2を1.414で代用して計算するとします。
√2-1.414>0
です。
ここで、仮に√2-1.414=dとします。
1.414×1.414=(√2-d)(√2-d)
=2-2d+d×d
=2-d(2-d)
当然、2>dなので、(2-d)>0
したがって、d(2-d)>0となります。
よって、2-d(2-d)<2となります。

お礼

ご回答ありがとうございます。