無理数の証明における既約分数

質問

ルート2が無理数であることのある証明をみたところルート2=m/n(m/nは既約分数)と証明の最初の方に書いてありました。そこで質問なのですがm/nが既約分数でなければいけない理由を教えてください。

回答No.3

proto · ベストアンサー

別に既約分数じゃなくてもいいんですが。考え方として2つあります。

ひとつめは、m/nが既約でなかったとしてもm,nの最大公約数で約分すれば既約になるんだから、とりあえず既約分数を作ってから話をはじめようや、という考え方。
よくある√2が無理数であることの証明のキモは、
　　既約分数から始めたハズなのに、m/nは既約ではないという結論が出る　→　矛盾
という部分ですから、まぁとりあえず既約分数を作るという考え方は大切だと思います。

ふたつめは、m/nが既約という仮定を置かない考え方です。
√2=m/nと置いて両辺を二乗し分母を払うことで、m,nが2を共通因数として持つことがわかりますね。

ではm,nをそれぞれ2で割って
　　m/2 = m'
　　n/2 = n'
とすると、√2=m'/n'と表せますから、ここからまた先ほどと同じ理論展開を繰り返しましょう。
するとm',n'も2を共通因数に持つことがわかるはずです。

では更に
　　m'/2 = m''
　　n'/2 = n''
として同じ事を繰り返せば、m'',n''もまた2を共通因数に持つことがわかります。

この操作は何回でも繰り返せるので、元のm,nは何回でも2で割れるということになります。
ですが、mもnも有限な整数である以上、無限に多くの因数を持つことはあり得ないので矛盾であり、√2が有理数ではない事が分かります。

このようにm/nが既約であると仮定しなくても証明は出来るのです。

お礼

丁寧に説明していただきありがとうございました。

回答No.2

Tacosan

背理法で証明してるんですよね. だとしたら, 証明を追っていくと最後の方で「m/n が既約である」ことを使っているはずです. 証明を読んでください.
あ～.... 「分数が既約である」というのがどういう意味か, わかってますよね?

回答No.1

FEX2053

既約分数じゃなくていいんですが、m/nがお互いに「素」じゃないと話が先に行きませんよね。ですので証明のステップ（m/nをお互いに「素」になるまで共通約数で除す）を一つ省いているだけです。