無限に続く数

質問

どんな桁の数字も分かっている無限小数は、その数の値は確定していますか？
（例えば、小数点の5963桁目の数字は→[8]、のようにどんな桁でもその数字が分かっている場合です）

この疑問をAIに聞いてみたのですが、どの桁の数字も分かっていたとしても数字は無限に続くので、どこまで行っても値を確定することはできない、という回答でした。

AIの回答は正しいですか。理由も教えて下さい。

回答No.6

ddtddtddt · ベストアンサー

無限小数を、a0 . a1 a2 a3 ・・・で表します。
　ここでa0は整数部、a1，a2，a3，・・・は、小数1，2，3，・・・桁目の数字で、0～9のどれかです。a0 . a1 a2 a3 ・・・を小数n桁目で打ち切った値bnは明らかに、

　　bn＝a0＋a1／10＋a2／100＋a3／1000＋・・・＋an／10^n

と書けます。bnは、無限小数の打ち切り桁数nに応じた数列とみなすことができます。この数列の極限、

　　lim(n→∞) bn

が収束するかどうかですが、必ず収束します。それを保証するのが数学の実数論です。無限小数も収束するという意味では、値は確定します。

　というわけでAIさんが「値が確定する」の意味を、どのように捉えたかだと思います。
　例えば、√2の任意有限n桁目の数字を算出する計算法はわかっています。n桁目を知りたければ、n桁目まで繰り返し計算すれば良いわけです。しかし√2は真の無限小数なので、その先のn＋1桁目も、n＋2桁目もありどこまでも続きます。いっぽう人間に（コンピューターに）可能なのは、あくまで任意有限です。無限桁までの計算を無限回行う事は物理的に不可能です。こういう場合、一般常識（？）としては「値は確定できない」になると思います。

　けっきょくこの質問は、「～～という意味ではAであり、〇〇という意味ではBでもある」という文脈依存の答えになる気がします。最近知ったのですが、一時流行っていた第5世代コンピューターは、良く言えば惜しかったという話をききました。それは文脈依存問題などにも応えようとしたものでしたが、失敗しました。それをある程度解決したのが、現在のAIに使われているディープラーニングです。当時はそれが技術的に無理だったという事ですが、ディープラーニングが是非必要だという結果を出したのは、第5世代コンピューターの一つの成果だったと。

　というわけでディープラーニングして色々な文脈を学んだ結果、一般常識（？）の反映として「値は確定できない」というAIさんの回答になった気がします(^^;)。

お礼

ありがとうございます。
無限小数の値の定義を解説していただいたので疑問は解決です。

AIに聞きたかったのは数学的(?)な回答だったのですが、感覚的な回答としては、理解はできる、ということになりますね。
時折テレビでπの話題になった時に「数字が無限に続くから値は決まらないのですね」と言っている人を見るのですが、πという値が決まっているのに「値は決まらない」とは、その人の中でどういうロジックでそういう結果になるのか不思議に思っていたのですが、AIさんの気持ち(?)の解説で、その感覚が理解できました。

回答No.5

takochann2

AIはかなり馬鹿（特にCopilot）で誤った回答をしてきますし、少し言葉を変えるだけで平気で矛盾した回答をしてきます。矛盾を指摘すると間「違ってました」と言ってさらに間違った答えをしてきます。

お礼

質問文で引用したAIはGeminiですが、同じような経験があります。ただ、Geminiで論理間違いを繰り返した質問は1回だけでした。答えが出せない議論でも論理立てて真っ当な回答をしてくる印象です。
これまで質問した内容がたまたまそうだっただけかもしれませんが。

回答No.4

takochann2

「確定」の意味が、揺らぎはあるかという意味なら不確定はないので確定しています。確定しているの意味が希望する桁の数字をすべてすぐに答えられるかという意味ならばできません。自然対数の底や円周率は無限に続きますが、規則なく無限にあるので、すべての数字は分かっているとは言えません。多分100万桁とか、有限の桁数しか計算されていないはずです。

お礼

ありがとうございます。
循環しないランダムな無限小数では、現実にはすべての桁を特定することはできない、ということですね。

補足

質問者の意図としては、現実的にそれが可能かどうかは別として、論理的には値は確定しているといえるのか、という点が疑問でした。ランダムな無限小数において、AIの回答の説明で「値は確定しない」といえるか、です。
ここまでは、AIの回答が間違っていて「値は確定している」が、皆さんの回答です。

回答No.3

f272

どんな桁の数字も分かっている
値は確定している
この2つは同じことを言い換えているだけだと思います。

お礼

ありがとうございます。
2つは同じと思ったのですが、理由の説明ができずAIに聞いてみたら否定の回答が返ってきたので今回の質問になりました。

回答No.2

maskoto

確定しているんじゃないかと思います

例
一の位は1
小数点一位は4
小数2位は1　
3位は4　
以下　2、1、3、5、6…とわかっているものは√2と確定
(ただし、確定値は小数では表しきれない
ルートとか、πなどの文字で表す
こういったものがない無限小数に関しては、新たに確定値を示す文字などを設定してあげる必要はある)

こんな感じかと思います

お礼

ありがとうございます。
無限に数字が続くのは表現しきれないだけで、値は確定しているということですね。

回答No.1

are_2023

判っていて終わりのない数
10÷3＝3.333333333333333333333333　（3が続く）
2÷7＝0.285714285714　　（285714）が繰り返される

お礼

ありがとうございます。
確かに、反例がすぐに思いつきますね。単純なのに気づきませんでした。