夢か現実か？永遠に一致しない無理数の存在

質問

ルート2は1.4142135623730950488016887242097
ルート3は1.7320508075688772935274463415059
************************************↑

この二つの無理数は小数点以下、何桁か同じ数字が見られます。例えば、上記の場合は、矢印付近の桁で『0』という数字で一致しています。

夢か現実か定かではないのですが、
何かの本で『小数点以下で、永遠に同じ桁で同じ数字は無い無理数がある』と読んだことがあります。

永遠に続く数字の羅列で、そんなことがあるのかどうか疑問に思ったのですが、
どの本で読んだのか、はたまた夢だったのか思い出せないのです。

どなたか知っている方がいたら教えてください。

回答No.4

mmk2000

『小数点以下で、永遠に同じ桁で同じ数字は無い無理数がある』
について背理法を考えて、
「任意の無理数について、自分自身以外の無理数で、同じ桁で同じ数字になるような無理数が存在する」
という命題に置き換えて矛盾を示すほうがいいかもしれませんね。
具体的な答えは出ませんが、存在することを証明するには十分かと思います。

回答No.3

Largo_sp

一言…無理数の定義が違っていますが…
平方根でということでしょうか？
質問者さんの考える「加工しない無理数」とはどんなものでしょうか？
#2さんのとおり１０進数でもαと１－αの小数点以下はどの桁も一致しませんね…

回答No.2

tatsumi01

それは１０進法に捉われているから、何か不思議なことのように思うだけです。

２進法で、小数点以下の全ての桁が一致しない二つの数ｘ，ｙを考えてみましょう。整数部を無視すれば（あるいは０＜ｘ，ｙ＜１として）
ｘ＋ｙ＝０．１１１１１１１１１１・・・・＝１
ですから、単に
ｙ＝１－ｘ
というだけ。（もちろん、ｘが無理数ならｙも無理数です。）

回答No.1

Largo_sp

たぶん…小数点以下ｎ桁目がｐ（ｎ）の無理数と
小数点以下ｎ桁目がｐ（ｎ）＋１の無理数とでは
永遠に同じ桁で同じ数字にはなりません…
ってオチじゃなかったかなぁと
簡単にいうと、√2と√2+（1/9）ですね…

補足

早速のご回答有難うございます。
確かに、おっしゃる方法なら正解ですが、
√xと√yといったような、加工しない純粋な無理数との対比でした。
やっぱり夢だったのかなぁ…？