特別な素数について

質問

１を素数Ｎで割ると最大(n-1)桁の数が繰り返す循環小数になるのは直ぐ分かるのですが，この最大桁数で繰り返す循環小数になる素数Ｎは他の素数とどう異なるのか分かりません。
またこの素数の見付け方は，無限に有るのか等も分かりませんので教えて下さい。
該当素数 ２，７，１７，１９，２３，２９，４７
非該当素数 ３,５，９，１１，１３，３１，３７，
４１，４３
計算が間違えてなければ上記のようになるようなので
すが。

回答No.3

UKY

分母を9ばかりの整数に直すことを考えます。
例えば、
1/7 = 142857/999999

循環小数を分数に直すときの常套テクニックですね。
もちろん、分母の9の数は循環節の桁数になります。(この例では6桁)

これを変形すると
7*142857 = 999999

つまり、999999が7で割り切れるなら、循環節は6桁になるということです。
逆に9999は7で割り切れないので、循環節は4桁ではないということもできます。

注意しないといけないのは、循環節の桁数が合成数だった場合に本当の循環桁数はその約数かもしれないということです。
例えば、999999999999は13で割り切れるので、1/13の循環節は12桁だと思うかもしれませんが、実際には6桁です。というのも、999999も13で割り切れるからです。

したがって、1/Nの循環節の桁数を求めるには、9, 99, 999, 9999, 99999をそれぞれNで割っていって、初めて割り切れたときの999……9の桁数を調べればよいわけで、
「循環節の桁数は(10^p - 1)がNで割り切れるような自然数pの最小値である」
といえます。
つまり素数が「該当」するのはこのpの最小値がN-1になるときです。

お礼

ありがとうございます。
正直言いますとこの内容は分かっていました。
これは確かに解と言えるでしょうが，確認するのは簡単ではありませんね。もっと簡単orスマートな回答を期待していたのですが。
また本当に私の知りたいのはこの素数がどのように存在するのかと言うことなのですが，難問らしいことが
分かりました。
素数の種類として認められると思うのですがご意見は
いかがですか。

回答No.2

noname#108554

F.ル・リヨネの「何だこの数は？」(1989)p.101によると、
「この数列をあらわす一般的な規則はわかっていない。」
そうですから、素人には無理な話ではないか・・・と。

お礼

ありがとうございます。
調べてみます。

回答No.1

arukamun

１を分子に持ち、素数Ｎを分母に持つ分数ですが、
１０進数の世界ですので、１０の約数である２と５は循環小数にならず有限小数なので、循環節はありません。
素数Ｎの循環節の桁数は、最大Ｎ－１桁です。
循環節の桁数が最大を該当素数、それ以外を非該当素数とすると、
該当素数：７、１７、１９、２３、２９、４７、５９、６１、９７、
非該当素数：２、３、５、１１、１３、３１、３７、４１、４３、５３、６７、７１、７３、７９、８３、８９、

循環節の桁数は
％を剰余関数だとすると、
　　１＜ｘ＜Ｎ
　　１％Ｎ＝（１０＾ｘ）％Ｎ
の様な式になるとおもいます。
左辺の１％Ｎは１なので、
　　（１０＾ｘ）％Ｎ＝１
で良いでしょう。
　　ｘ＝Ｎ－１
よって、
　　（１０＾（Ｎ－１））％Ｎ＝１
なら、該当素数となります。

参考URL：

http://www.geocities.co.jp/Playtown-Toys/2593/JavaScript/rational.html#cyclic

補足

小生の実力不足なのか，％の意味が良く分かりません。
Ｎ＝１３の場合の具体的数値で説明して頂きたいの
ですが。