平方根の解き方

質問

平方根の解き方について、過去ログを参考にさせて頂き、だいたい
理解できたのですが、簡単な確認と質問をさせて下さい。
解き方には、筆算で求めるのとニュートン法とがあり、
筆算での求めかたについて（求めたい値は２０４）
下記のような感じであっていると思うのですが、
下記確認事項です。
間違っていたら、ご指摘お願い致します。

１）ルート内の求めたい数は、１の位から２桁ずつに区切る
　　２０４なら、２と０４。もし４桁で２０４０なら、
　　２０と４０。２桁で２０ならそのまま。一桁で２ならそのまま。

２）ルート内の求めたい数が小数点のついた数の場合
　　小数点のついているところから、２桁に区切る
　　２０．４なら、２０と４。２．０４なら、２と０４

３）計算をしていき、求めたい数２０４の次の２桁を
　　おろしてくる場合は、ルートの上に小数点をつける。
　　この場合なら、３段目の８００の時に、ルートの上の数
　　１４の後ろに小数点をつける

　　　　　１　 ４．２８
　　　　√￣￣￣￣￣￣￣
１　 　　２｜０４｜
１　 　　１
＿＿　　＿＿＿＿＿＿＿
２４　 　１　０４
　４　　　　 ９６
￣￣　　￣￣￣￣￣￣￣
２８２　　　　 ８００
　　２　　　　 ５６４
￣￣￣　￣￣￣￣￣￣￣
２８４８　　　 ２３６００
　　　８　　　 ２２７８４
￣￣￣￣　￣￣￣￣￣￣
繰り返していく。

４）その他、これだけは気をつけておいた方がいいという
ことがあれば、教えて下さい。
５）ニュートン法というのが、過去ログを見ても理解
できませんでした。
こちらも覚えておいた方がいいのでしょうか？

回答No.1

fushigichan · ベストアンサー

y0-k0さん、こんにちは。
開平法についてですね。
いい参考ページがなかったのですが、一つ紹介しておきます。

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/root.htm

　　　　　１　 ４．２８
　　　　√￣￣￣￣￣￣￣
１　 　　２｜０４｜
１　 　　１ 　　　　　　←この１は、１×１＝１のです。
＿＿　　＿＿＿＿＿＿＿
２４　 　１　０４ 　　　←この１は、２－１＝１の１
　４　　　　 ９６ 　　　２＊×＊が１０４に一番近く小さいものを探す
￣￣　　￣￣￣￣￣￣￣
２８２　　　　 ８００
　　２　　　　 ５６４
￣￣￣　￣￣￣￣￣￣￣
２８４８　　　 ２３６００
　　　８　　　 ２２７８４
￣￣￣￣　￣￣￣￣￣￣

　↑　これ、よくキレイに書けましたね！
やり方は、ばっちりです。
あと気をつければいいのは、分数なら有利化してからするといいですよ。

ニュートン法についての説明です。
微分が関係していますが、定数の√を取る計算なら、開平法でいいんじゃないでしょうか。
ご参考になればうれしいです。

http://hp.vector.co.jp/authors/VA013845/algorithm/newton.html

参考URL：

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/root.htm

お礼

ご回答ありがとうございます。
分数なら有利化ですか。
有利化ってなんでしたっけ？（泣）
ニュートン法は微分が関係してくるのですね。
微分や積分もすっかり忘れてしまいました・・・。
開平法だけでいいかな。。。

回答No.6

kony0

ニュートン法を用いて、√a（の近似値）を求める方法は、昔下記URLで書きました。

X(0)に適当な正の整数をセットし、
X(n+1)=(1/2){X(n) + a/X(n)}
の漸化式を計算すると、lim(n→∞)x(n)=√aがいえます。

ついでに、大域的収束性および２次収束性も書きました・・・

計算機の有効桁数の範囲で、精緻な計算が、少量の計算で求められるものと思っています。（√の計算とニュートン法がたまたま相性がよいだけですが・・・いや本当は本質的に相性がよいのですが^^;）

参考URL：

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=391499

回答No.5

graphaffine

y0-k0今日は。#3のものですが、Pellの方程式を補足します。（連分数展開は多少長くなりますので、ご希望があれば書き込ませてもらいます）

Pellの方程式とは、x^2-Ay^2=1の形の方程式の事です。
ここでAは平方因子を含まない自然数（言いかえると素数または相異なる素数の積)です。
この方程式の重要な点は、常に解が存在する事、また、(x,y)=(a,b)を一つの解とするとき、(x、y)=(2*a^2-1,2*x*y)---(#)もまた解になる事です。（これは計算で簡単に確かめられます。なお、*は掛け算を表わします)
２の平方根はx^2-2y^2=1を使って（近似値を）求めます。
x^2-2y^2=1の一つの解は(3,2)である事が分かります。
従って、(#)から、(17,12)もまた解になります。
同様に繰り返して、(577,408)(665857,470832)が得られれますが、このとき、665857/470832=1.41421356・・・となり、小数第8位まで正しい値が求まっています。

＞開平法のようにきちんとした回答ではないってことでしょうか？

すみません、ちょっと意味が分かりません。きちんとした回答とは？
開平法も単なる近似計算である事は分かってますよね。

お礼

再度、ご回答ありがとうございます。
Pell方程式は、私には難しすぎるかも・・・。

＞開平法も単なる近似計算である事は分かってますよね。
すみません。それすら知りませんでした（泣）

回答No.4

noname#5537

graphaffine さん，
ご指摘ありがとうございます。寝ぼけてました^^;

y0-k0 さん，
x^2 は 「x の2乗」の意味で使いました。
が，#2 で書いた式は間違いですので graphaffine さんの書き込みを参考にしてください。

「手計算でやるべきものではないです。」
についても，少々言い過ぎました。
手計算でやって出来ないわけではありません。

お礼

再度、ご回答ありがとうございます。
実際に「２０４」をニュートン法で計算して頂けない
でしょうか？
いまいちピンとこなくて・・・。
すみません。宜しくお願い致します。

回答No.3

graphaffine

眠いので簡単に書きます。
質問の趣旨から外れるかもしれませんが、
筆算でやるとしたら開平法は効率が悪いです。
連分数展開やPellの方程式を使った方法の方が早いです。
後者の問題は、Pell方程式の根を求める必要がある事で、
そのためにニュートン法を併用することもあるでしょう。

念のため言っておきますと、ニュートン法は平方根を求める方法と言うよりも、方程式の根の近似計算を行う方法です。

#2に突っ込ませてもらいます。
＞x の平方根を求めるということは，
＞x^2 - 1 = 0 という方程式を解くことに相当します。

単なる書き間違いだと思いますが、以下の間違いですね。
・A の平方根を求めるということは，
x^2 - A = 0 という方程式を解くことに相当します。

通常非線型とは微分方程式の場合に使う言葉だと思います。それから、簡単な場合は手計算でやっても問題ないと思います。質問者も何十桁も出そうとしているのではないでしょうし。

お礼

ご回答ありがとうございます。
開平法は効率が悪いのですか～。
連分数展開・Pell方程式・・・難しそう（汗）
初めて聞きました。

ニュートン法は方程式の根の近似計算を行う方法なのですか。
近似値ってことは、開平法のようにきちんとした回答ではないってことでしょうか？
あと、＃２の方ののお礼にも書きましたが、
x^2 - A= 0 の、「x^2」の「^」この記号？の意味が分からないんです・・・。

回答No.2

noname#5537

x の平方根を求めるということは，
x^2 - 1 = 0 という方程式を解くことに相当します。

ニュートン法は，
コンピュータを使ってこのような非線形の方程式を数値的に解く場合に用いられる方法です。

手計算でやるべきものではないです。

お礼

ご回答ありがとうございます。
x^2 - 1 = 0 の、「x^2」の「^」この記号？の意味が分からないんです・・・。
コンピュータを使って計算するのですか？