関数の連続・不連続について

質問

こんにちは。
数学を勉強していて疑問がでてきました。
連続な関数ｆがあり、その関数の導関数ｆ’が不連続になる関数を探しています。具体的な関数を見つけることができません＞＜アドバイスください＞＜

回答No.5

noname#178429 · ベストアンサー

連続で,有限個の点で微分不可能(関数の微分が不連続)な関数は,すでに書かれているような関数を加えていけばいくらでも作ることができます.
難しいのは,どこでも連続で,可算個の点で微分不可能な関数ですが,これは存在します.
K.Weierstrassが提示した次の式がそうです.
f(x)=Σ[n=0,∞](a^n・cos(b^n)・π・x
0<a<1
bは奇数,　ab>(3/2)・π　+　1
上記の関数f(x)は,(－∞,∞)で連続,可算(無限大)個の点で微分不可能です.
詳細は,数学辞典:岩波書店の微分可能の項を参照して下さい.関係論文が記載されています.
また,Baire関数についての知識も参考になるかも知れません.

回答No.4

noname#221368

連続関数の導関数が不連続とは、グラフにすれば角が立つ事を意味します。なので、最も簡単には、折れ線がそうです。

回答No.3

BookerL

単純に f(x)=|x| なんてのでも、「連続な関数ｆがあり、その関数の導関数ｆ’が不連続」になりますね。

回答No.2

ringohatimitu

すべての点で微分可能だが導関数が不連続な例としては
f(x)=x^2 sin(1/x) for x≠0, f(0)=0
があります。

回答No.1

koko_u_

導関数の方から考えれば良い。例えば

f'(x) = 0 ( x < 0 )
= 1 ( x > 0 )

となる f(x) を考える