大学数学（微分）NO１２（至急）

質問

(1) lim(x→0)（sinx/x)^1/x

(2)lim(x→∞）（lnx/x)^1/x

(3)lim(x→∞）x^n/e~x

（１）（２）はロピタルを使って求めてください。御教授宜しくお願いします。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

(1)L= lim(x→0)（sin(x)/x)^(1/x)
|x|<π/2では　sin(x)/x>0なので
L=lim(x→0) e^{(1/x)ln(sin(x)/x)}

L1=lim(x→0) {ln(sin(x)/x)}/x ←ロピタル適用
=lim(x→0){ln(sin(x)/x)}'/1
=lim(x→0) {x/sin(x)}{cos(x)x-sin(x)}/x^2
=lim(x→0) {cos(x)x-sin(x)}/{xsin(x)}
=lim(x→0) {cos(x)x/sin(x)-1}/x ←ロピタル適用
=lim(x→0) {cos(x)x/sin(x)}'/1
=lim(x→0) {x/tan(x)}'
=lim(x→0) {tan(x)-xsec^2(x)}/tan^2(x)
=lim(x→0) {tan(x)cos^2(x)-x}/sin^2(x)
=lim(x→0) {sin(x)cos(x)-x}/sin^2(x)
=lim(x→0) {2sin(x)cos(x)-2x}/(2sin^2(x))
=lim(x→0) {sin(2x)-2x}/(1-cos(2x)) ←ロピタル適用
=lim(x→0) {2cos(2x)-2}/(2sin(2x))
=lim(x→0) -(1-cos(2x))/sin(2x)
=lim(x→0) -(1-cos(2x))(1+cos(2x))/{sin(2x)(1+cos(2x))}
=lim(x→0) -sin^2(2x)/{sin(2x)(1+cos(2x))}
=lim(x→0) -sin(2x)/(1+cos(2x))
=-0/2=0

∴L=e^(L1)=e^0=1

(2)L=lim(x→∞）（ln(x)/x)^(1/x)
x>>1のとき　ln(x)/x>0
L=lim(x→∞）e^[ln{ln(x)/x}/x]

L1=lim(x→∞）ln{ln(x)/x}/x ←ロピタル適用
=lim(x→∞）{ln(ln(x)/x)}'/1
=lim(x→∞）{x/ln(x)}(ln(x)/x)'
=lim(x→∞）{x/ln(x)}{1-ln(x)}/x^2
=lim(x→∞）{(1/ln(x))-1}/x ←ロピタル適用
=lim(x→∞）{1/ln(x)}'/1
=lim(x→∞）{-1/(ln(x))^2}(1/x)
=lim(x→∞）-1/{x(ln(x))^2}
=0

L=e^(L1)=e^0=1

(3)L=lim(x→∞）(x^n)/(e^x)
ロピタルをn回適用して
L=lim(x→∞）n(x^(n-1))/(e^x)
=lim(x→∞）n(n-1)(x^(n-2))/(e^x)
…
=lim(x→∞）n(n-1)…2x/(e^x)
=n!lim(x→∞）1/(e^x)
=0

お礼

ほんとありがとうございます。
助かります。

回答No.4

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

(2)
出典 「詳解 微積分演習I」、福田安蔵他編、共立出版、1960,10、p.127より、
極限値は1。

というより、この辺のレベルの問題はどっかの演習書に載ってます。

回答No.3

alice_44

分母が x の lim(x→0) にロビタルの定理を適用するのは
循環論法だと、何回言っても解るようにならない人がいる。

回答No.1

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

(3)はe^xをテイラー展開すればわかる。