数III 積分 小門集合

質問

(1) lim[n→∞]∫[0,nπ]e^(-x)|sinx|dx
(3) lim[n→∞](1/n^2)∫[0,nπ]x|sinx|dx
(4) ∫[0,π]x|sinnx|dx

解き方をお願い致します。

因みに、(1)は
∫[kπ, (k+1)π] e^(-x)|sinx|dx=e^(-kπ)(1+e^-π)/2
Σ[k=0,∞] e^(-kπ)(1+e^-π)/2=(1+e^-π)/2(1-e^-π)
とやって間違ってました。

回答No.1

EH1026TOYO · ベストアンサー

(1)は計算結果は(1/2)(1+exp(-π))/(1-exp(-π))でいい様な気がするのだが・・!?
途中の書き方が良くないって事!?
途中Σ𝑘₌₀~𝑛₋₁ exp(-kπ)を求めてn➝∞の極限を求める事になると思うのだが!?
(3)も(1)と同じ様に計算できると思うのだが・・!?
∫[nπ, (n+1)π]x|sinx|dxでx=nπ+t とでも置いて
∫[nπ, (n+1)π]➝∫[0,π]の範囲の積分に直せるのでその範囲で|sinx|=sinxとなる
後は同じように有限和を求めた後n➝∞の極限を取る
(n²が消せる筈)
(4)はx=t/nとおいて(3)に帰着される筈

お礼

ありがとうございました。
無事に解決致しました。
(1)は添削ミスだったそうです。