数学の証明

質問

C2－級関数u(x,y) v(x,y)がUx=Vy Uy＝－Vxを満たしているとき、次を証明せよ

(１)Uxx+Uyy=Vxx+Vyy=0

（２） (UV)xx+(UV)yy=2(UxVx+UyVy)

どう手をつけてよいかわかりません。ｘｘなどはどのように扱えばよろしいのでしょうか？

回答No.2

yyssaa

(１)Uxx+Uyy=Vxx+Vyy=0
＞Uxが∂u/∂xならUxxは∂Ux/∂x=∂(∂u/∂x)/∂xです。
C2級関数であれば、Uxy=Uyxが成り立ちます。
(２）(UV)xx+(UV)yy=2(UxVx+UyVy)
＞(UV)xxは∂{∂(UV)/∂x}/∂x=∂(Ux*V+U*Vx)/∂x
=Uxx*V+Ux*Vx+Ux*Vx+U*Vxx=Uxx*V+2Ux*Vx+U*Vxxです。
(１)(２)とも、あとは条件に合わせて計算するだけです。

回答No.1

masudaya

全部書くと本人のためになりませんので
ヒントだけ,

xxは二階偏微分です.

(1)は
Uxx=(Ux)x=(Vy)x=(Vx)y=-Uyy
偏微分の順序交換を使用しました.
あとは上を参考しすればできると思います.

また(2)は
(UV)xx=(UxV+UVx)x=(UxxV+2UxVx+Vxx)
(UV)yy=(UyV+UVy)y=(UyyV+2UyVy+Vyy)
となります.これと(1)の結果を使えば
できると思います.