数(2)の図形と方程式で、逆手流の解法について

質問

どうしてもこの解法が理解できないんです・・・
例えば、座標平面上で、２点Ｐ（ｘ、ｙ）Ｑ（u,v)があり、ux-vy=y-v,
vx+uy=-x+uを満たしている時、
(1)点Ｐが点（０、１）を除くＹ軸上を動く時、点Ｑの奇跡は？
(2)点Ｐがｘ軸上を動く時、点Ｑはどのような図形を描くか？
という二つの問題があるんですが、
これらの解答として、
点Ｑ（u,v）が、求める図形上にあるための条件は・・・・
と逆からせめていく解法が理解できないんです。
どうか理解できるように教えてください。お願いします

回答No.7

saus

newtypeさんはいい事をおっしゃった。
逆手流だか、坂田流だか知らないが、人生の中で一度も使ったことがない。
その代わり、論理記号や考え方は少し人と変わっていますけれど。
忘れて問題なし。
塾も商売ですから、催眠術をかけるには効果的な方法だということです。
なるほど、・・・もしかしたらなんも知らずに使っていたもの、あれとか塾では、逆手流とか言うのでしょうか。
時代の流れとともに、変わり行くものもあれば、数学なんていうものは変わらない、変わった学問だ。
大体からして入試問題というものは、問題を見たら答えが見えるものしか出題することができないシステムだから、興がない。
この問題は、受験の時、俺、答え覚えてたよ。余りにも何度も出てくるんで逆関数覚えてたし。大学入っても、多様体ででてくる関数ですよね。なんだか、懐かしい。そういうことまで、理解しているから何でも式変形できるわけで、一般人はとりあえず、試験前に典型問題の答えだけ覚えましょう。三角もらえるはずです。

回答No.6

newtype

～の値の範囲を求めよ、～の最大値、最小値を求めよ、今回のように点Ｐが動くとき点Ｑ軌跡の領域を求めよ、あるいは軌跡を求めよ…ｅｔｃといったタイプの問題があるときに変数を直接動かすか、逆に変数の存在条件から考えるかという２つの解法の潮流があります。
大学への数学では前者を自然流、後者を逆手流と呼びます。
昔の高校生は一次変換をを習ってるので、関数等の発展型？である「像」という概念をよく理解しています。だから上記の問題を平易に解ける。（可能性がある）
ところが今の高校生はそれらを習わない。したがって問題を見たときにどういう解法をとればいいかがわからない。つまり昔の学生ができたことが今のそれは出来ない。大変ですな。
傑作な滑稽劇の主役を務めているのは文部科学省ですな。学力低下のために学習内容を減らし学生たちに「ゆとり」を与えるはずが、逆に教育現場の混乱を招き、学生達の学力低下を招く。まったく何やってるんだか。

回答No.5

seian

ux-vy=y-v ---(a)
vx+uy=-x+u ---(b)

とします。

(1) Ｙ軸上というのだからx=0、
これを(a)、(b)両式にあてはめると、
-vy=y-v ---(a')
uy=u ---(b')
ただし条件からy≠1なので、(b')をみたすためには

u=0

(a')をvについて解くと
v=y/(1-y)、つまりyがy≠1の値をとるとき、vはすべての値をとりうる。
よってQの軌跡はY軸そのもの。

(2)もほぼ同じ。X軸上を動くというのだからy=0、
これを(a)、(b)両式にあてはめると、
ux=-v ---(a')
vx=-x+u ---(b')
仮にu≠0として(a')をxについて解き、
それを(b')に代入して整理すると、

u^2+(v-1/2)^2=1/4

つまり、(0,1/2)を中心とする半径1/2の円。
u=0の場合も(a')からv=0となり、上記円上であり、
Qの軌跡は上記円として問題ない。

と、素直に解けそうな気がするのですが・・・。

逆手流の妙味というのはどういうところなのですか?
「大学への数学」を知らない一般人にもその辺の解説を
どなたかして頂けないでしょうか??

回答No.4

newtype

だから、Ｑの軌跡を求めたいんだが、わかっているのは（ｕ、ｖ）が＝ｆ（ｘ，ｙ）で表わせ、点Ｐが（０，１）を除くｙ軸上を動き回るんでしょう。

だからもしそういう軌跡が存在するなら、逆にそれに対応する点（ｘ，ｙ）が存在する。

（ｘ，ｙ）＝f^(-1)（ｕ、ｖ）　　（逆像）

ｘ＝ｕ／（ｕ^2+(v+1)^2），ｙ＝（ｖ^2＋ｕ^2＋ｖ）／（ｕ^2+(v+1)^2），（ｕ^2+(v+1)^2≠０）
（ｕ，ｖ）＝（０、－１）のとき、は不能。………………………………（☆１）
と解ける。（私は逆行列を使ったが、別に消去法でも出来るはずだ）

で条件より、ｘ＝０かつ、ｙ≠１だから
０＝ｕ／（ｕ^2+(v+1)^2）…（１），１≠（ｖ^2＋ｕ^2＋ｖ）／（ｕ^2+(v+1)^2）…（２）（ｕ^2+(v+1)^2≠０）

⇔ｕ＝０かつ、ｖ^2＋ｕ^2＋ｖ≠ｕ^2+(v+1)^2
⇔ｕ＝０かつ、ｖ^2＋ｖ－(v+1)^2≠０
⇔ｕ＝０かつ、ｖ≠－１……………………………………………………（☆２）
よって、（☆１），(☆２)より、求める軌跡は，
ｙ軸で、点（ｘ，ｙ）≠（０，－１）

あの解答は普通に（ｕ、ｖ）＝ｆ（ｘ，ｙ）で像に順じて解いているが、この場合は逆の対応の独壇場といってよいので、そういう解法もあるんだと思っていれば良い。

以上。

回答No.3

stomachman

逆手流？どこが？？
軌跡（奇跡じゃなくて！）というのは点の集合です。図形も点の集合。どっちも同じですね。
点の集合SはS=｛<u,v>| u,vに関するある性質｝という形に書かれる訳で、「u,vに関するある性質」はこの問題では「点Ｑ（u,v）が、求める図形上にあるための条件」に他なりません。これをx,yを使わずに表せという注文です。
　さて、与えられている条件をきちんと書くと
∀u∀v(<u,v>∈S⇔u∈実数∧v∈実数∧∃x∃y (x∈実数∧y∈実数∧(ux-vy=y-v)∧(vx+uy=-x+u)))
です。或いは
S = {<u,v> | u∈実数∧v∈実数∧∃x∃y (x∈実数∧y∈実数∧(ux-vy=y-v)∧(vx+uy=-x+u))}
と書いても同じですね。そして、「x,yを使わないで同じ集合Sを表せ」という問題です。

　実数の対<U,V>を持ってきて、これが図形S中に含まれるかどうかを問う。つまり<U,V>∈Sかどうか。
これは∃x∃y ((Ux-Vy=y-V)∧(Vx+Uy=-x+U))であるかどうかを問うのと同値です。()内を満たす実数x,yが存在すれば<U,V>∈Sであり、存在しなければ<U,V>はSに含まれない。では「()内を満たす実数x,yが存在する」をU,Vだけを使ってどう表すか。
　それだけのこと。まさしく正面攻撃。なんのひねりもありません。

回答No.2

newtype

逆手流なんぞと言っとるから、ひょっとしてわが青春の「大学への数学シリーズ」ではないかと思い探してみたら見つけました。

「大学への数学一対一対応の演習数学(2)」のＰ２０演習題１５、解答はＰ３１
ふふふ。答えがあるのに聞いてはいけませんな。
私が言いたいことは答えに書いてあります。答えを見ましょう。

お礼

その通りです。まさにその問題です。
アホ丸出しでもうしわけないですが、答えが理解できないという重症なんです・・

回答No.1

noname#9538

逆手流!
大学への数学ですね。懐かしいな～

どう解答されていて、そのどの部分が分からないのかをもう少し
明確にしたほうが答えやすいのではないかと思います。

(1)y軸上にある条件すなわちx＝0の下での拘束条件を書き下し、
それを満たすy＝1以外の解が存在するための(u,v)の条件を求める。
(2)x軸上にある条件y＝0の下での拘束条件を書き下し、
それをみたす実数xが存在するための(u,v)の条件を求める。

と言った考え方で問題無く解けるのではないでしょうか?
方程式が実数解を持つには一般に係数などに条件がつくことがポイントかな。
(そして、その条件さえ満たされれば実数解をもつことも一応確認。
ほとんど自明の場合が多いですが。)
しかし、(1)は逆手流より、順手流で考える方が自然だと思いますが。

きちんと解いていないのでちょっと自信なし。