変数変換と微分

質問

よろしくお願いします。ある本で次の図と記述があります。
※ｖｘのｘはｖの右下に付く添え字です。

Fxx＝μ（dvx/dy）＋μ（dvy/dx）
これを以下の式でｘｙ座標からＸＹ座標に変換
Ｘ＝（ｘ＋ｙ）／√２，Ｙ＝（－ｘ＋ｙ）／√２

上記の両式をｔ，ｘ，ｙで微分すると
ＶＸ＝（ｄＸ／ｄｔ）＝（ｖｘ＋ｖｙ）／√２
ＶＹ＝（ｄＹ／ｄｔ）＝（－ｖｘ＋ｖｙ）／√２
（∂Ｘ／∂ｘ）＝１／√２，（∂Ｘ／∂ｙ）＝１／√２，（∂Ｙ／∂ｘ）＝－１／√２，（∂Ｙ／∂ｘ）＝１／√２
が得られます。

さらに整理して
ｖｘ＝（ＶＸ－ＶＹ）／√２，ｖｙ＝（ＶＸ＋ＶＹ）／√２

これらを使って，一番最初の式に出てくる微分（dvx/dy）と（dvy/dx）を変数Ｘ，Ｙによる微分に変数変換します。

（ｄｖｘ／ｄｙ）＝（∂Ｘ／∂ｙ）（∂ｖｘ／∂Ｘ）＋（∂Ｙ／∂ｙ）（∂ｖｘ／∂Ｙ）
（ｄｖｙ／ｄｘ）＝（∂Ｘ／∂ｘ）（∂ｖｙ／∂Ｘ）＋（∂Ｙ／∂ｘ）（∂ｖｙ／∂Ｙ）

ここで質問です。

　上記の式の最後の２行　つまり，
（ｄｖｘ／ｄｙ）＝（∂Ｘ／∂ｙ）（∂ｖｘ／∂Ｘ）＋（∂Ｙ／∂ｙ）（∂ｖｘ／∂Ｙ）
（ｄｖｙ／ｄｘ）＝（∂Ｘ／∂ｘ）（∂ｖｙ／∂Ｘ）＋（∂Ｙ／∂ｘ）（∂ｖｙ／∂Ｙ）

　この式が出てきた経緯が分かりません。（ｄｖｘをｄｙで微分するとなぜ右辺のようになるのかが分かりません。同様にｄｖｙをｄｘで微分するとなぜ右辺のようになるのかが分かりません。）

　どなたか解説をお願いできないでしょうか。

回答No.1

spring135 · ベストアンサー

>（ｄｖｘ／ｄｙ）＝（∂Ｘ／∂ｙ）（∂ｖｘ／∂Ｘ）＋（∂Ｙ／∂ｙ）（∂ｖｘ／∂Ｙ）
（ｄｖｙ／ｄｘ）＝（∂Ｘ／∂ｘ）（∂ｖｙ／∂Ｘ）＋（∂Ｙ／∂ｘ）（∂ｖｙ／∂Ｙ）

これらの式はvx,vyが各々X,Yの関数であって、つまりvx(X,y),vy(X,Y)であって、

X,Yが各々x,yの関数、つまりX=X(x,y),Y(x,y)のとき

vxをy,vyをxで偏微分した式です。当然vxをx,vyをyで偏微分した式も存在します。

いずれも偏微分の最も基礎的な話です。urlの「多変数の合成関数の微分公式・変数変換」を見てください。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%81%8F%E5%BE%AE%E5%88%86

お礼

お返事ありがとうございました。
参考ＵＲＬが大変参考になりました。大変助かりました。