ある点から平面に垂線を延ばしたときの交点の座標。

質問

今XYZ空間で、ある2点O(Ox, Oy, Oz)、P(Px, Py, Pz)と2つの平行ではないベクトルU(Ux, Uy, Uz)、V(Vx, Vy, Vz)がわかっています。
この点OとベクトルU、Vで張られる平面に対して、点Pから垂線をおろします。
平面と垂線の交点を求めるにはどのようにすればよいでしょうか？
どなたか力を貸してください。

回答No.4

nisinihon_765 · ベストアンサー

No.3です。間違っていました。

まず、POとは点Pから点Oへのベクトルです。
そして、Tの定義自体を間違ってました。ここではT=(W・PO)・Wです。
更に、P+TのPは点Pの位置ベクトルのつもりで書きました。

T=(W・PO)・WをT=W・POと書いてしまったのがいけませんでした。

お礼

すみません。
途中で気づいてNO3の補足に書いたのですが。。。間に合いませんでした。

よくわかりました。ありがとうございます。

回答No.5

tom1102

No.1です。

色々な解き方があるとは思いますが、私が一番素直だと思う解き方の方針を説明します。

１．まず、平面の方程式を求める。
２．垂線（直線）の方程式を求める。
３．上記二つの方程式から交点を求める。

１．については、外積を知っていれば平面の法線ベクトルが分かるはずです。そうしたら、点Oの座標を代入すれば平面の方程式は分かります。
２．については、平面の法線ベクトルが分かっているので、それと点Pの座標から垂線の方程式が分かります。このとき媒介変数表示にしましょう。
３．については、二つの方程式を連立させて解くだけです。そうすると媒介変数が求まるはずなので、それを垂線の方程式に代入すれば交点の座標が分かります。

高校時代を思い出す問題ですね。

お礼

ありがとうございます。
確かにとき方としては、これが王道かもしれませんね。
この1と2の、ベクトルを用いて平面の方程式と直線の方程式を立てるって言うのがちょっと難しかったですが。。。
私の高校時代には、そういう思い出がありません(笑)。

回答No.3

nisinihon_765

変数を置くことなく、純粋に計算のみで交点を出す方法です(外積を知っていれば)。

まず平面に対する法線ベクトルを求めることから始めます。
ベクトルU,Vに対して外積を求めて、Pから平面向きの法線ベクトルを出します。その際、後々の事を考えて絶対値を１にし直します(直した後のベクトルをWと置く)。

次に、T=W・POとおくと、P+Tの指す座標が求めたい交点です。
図を描いてみるとよく分ります。

お礼

ありがとうございます。
ですが、Tの正体が良くわかりません。
T=W・PO
のPOはベクトルでしょうか？TはそれとWの内積でしょうか？
とすると P+T ができないような。。。

読み間違えてるのかもしれませんが、時間があれば、解説お願いします。

補足

あ。
Tって W と、ペクトルPO の内積で、Wをスカラー倍したものなんですね？
だとすると図を描いてみて納得しました。

回答No.2

at9_am

PQ、QR、QS は、それぞれベクトルだと思ってください。
また、a, b, c, d, e, f は実数とします。

・平面上にある座標 Q,R は
OQ = aU + bV
OR = cU + dV
OS = eU + fV
を満たす。ただし、Q≠R、R≠S、S≠Q とします。
いま、Qを垂線との交点とします。

から、方程式を解いてきて、任意の c,d,e,f について

・PQ⊥QR
PQ・QR = 0

・PQ⊥QS
PQ・QS = 0

が成り立つように a,b を決定すれば良いです。

お礼

なるほど。内積を使うのですか。
c,d,e,fが任意と言うことは c=f=1、d=f=0としてとけばよいと言うことになるのですね。
ちょっと計算してみたところ、結構式が複雑になりましたが、解けそうな気がします。
本格的に計算してみます。
ありがとうございました。

回答No.1

tom1102

ご自分で解いてみてどこまで分かっているのか。どこからが分からないのかを書いてください。
この状態で質問に回答すると規約違反になってしまいます。

平面の方程式は導けたのでしょうか？

お礼

すみません。ちょっと使い方がわかってなくて。。。
平面の方程式を導くとは、ベクトルではなく、数値のみの式で表すということでしょうか？
それは、できていません。。。
取りあえず、ベクトルで平面をあらわすことはできますが、平面=O+kV+lU くらいにしか表現できていません。
どう手をつけていいのかちょっとわからない状態なのです。。。