線性代数 数学

質問

2ax+2y-3z=1/2
x+ay+2z=3
-2x-8ay+6z=-1
ただし、aはパラメータである。
(1)この連立方程式に解が存在のはパラメータがどのような条件を満たすときかをしめしなさい。
(2)この方程式が一意解を持てば、aがどうのような条件を満たす？
以上の二つの問題のお答えをお願いします
またこの二つの問題区別がありますか。
お願いします

回答No.3

kup3kup3 · ベストアンサー

こんにちは。もう随分前にできていましたが、色々あって回答できませんでした。
それで回答です。
[1]
与えられた連立方程式を行列などを用いて書き表すと
Ax=b・・・(1)の形になる。No2の方が答えてるように、(1)が解を持つ必要十分条件は
rankA=rank(A,b)・・・(2)となることです。(A,b)はAの横にベクトルbを並べた
3×4型の行列です。
[2]
Aの逆行列A^(-1)が存在すれば、(1)の左からA^(-1)を掛けて、xは一意的に
x=A^(-1)b・・・(3)と求まります。これが質問(2)にある「一意解を持てば・・・」
という場合になります。この場合は上の(2)を確かめなくてもできます。
（(2)は自然に成り立つ）
(☆)「Aの逆行列A^(-1)が存在する　⇔detA≠0」　ですからdetA=0　を解いてaを求め、
その否定を出せばよい。detA=0とすると、
2×
|2a　2　-3|
| 1　a　 2|
|-1 -4a　3|
=2×(22a^2+9a-10)=2(2a-1)(11a+10)=0　として、a=1/2，or　a=-10/11・・・(4)
よってa≠1/2　かつ　a≠-10/11　のときdetA≠0で、方程式(1)は解を一意的にもち、
それは(3)で与えられる。なお　detA≠0⇔Aの3つの行クトルは一次独立
⇔rankA=3　となり、(A,b)はAの横にベクトルbを並べた3×4型の行列ゆえ
rank(A,b)≦3　かつAの3つの行クトルは一次独立ゆえrank(A,b)=3となり、
detA≠0のとき、rankA=rank(A,b)=3　となって(2)が成り立っています。
detA≠0のときはこのことはあまり気にする必要はありません。
さて　
[3]
「detA=0　⇔a=1/2，or　a=-10/11」のとき、A^(-1)は存在しませんから、それぞれ
の場合を考えます。a=1/2，or　a=-10/11でも(1)の解が存在するかもしれません。
ただこの場合解の集合はあっても、2次元か1次元のはずです。そこで
(ア)
a=1/2のとき、行列Aは
A=
( 1　　2　-3)
( 1　1/2　 2)
(-2　-4　　6)
となるので、(1)はx=(x,y,z)^t（縦ベクトルが書きにくいため転値行列を使用した。
同じxを使っているが違いは分かりますね。）とおくと
x+2y-3z=1/2・・・(5)　x+(1/2)y+2z=3・・・(6)　-2x-4y+6z=-1・・・(7)　となる。
(5)×(-2倍)=(7)なのでこれらは　(5)かつ(6)と同値となる。(5)(6)をx,yの
連立方程式として zの項を右辺に移項して　x+2y=3z+1/2・・・(8)　
x+(1/2)y=-2z+3・・・(9)　(8)-(9)として　3y=10z-5　∴　y=(10z-5)/3・・・(10)
このとき(8)より、x=-13/3z+23/6・・・(11)　と解ける。zは何でもよいので　
z=t　とおくと x=-13/3t+23/6，y=10/3t-5/3，z=t・・・(12)となって(1)は解けた。
tが実数を動くとき、この解全体は3次元空間内の直線を表す。(tがパラメーター）
よってa=1/2のとき解は「無数に」存在し(12)の形で与えられる直線になる。
なおこのとき、Aの行ベクトルは2つが一次独立。1行目と2行目が独立。
3行目は1行目の(-2倍)。よってrankA=2　また上の計算から分かるように
rank(A,b)=2なのでrankA=rank(A,b)=2 となっていて線形代数の理論と合っている。
次に　
（イ)
a=-10/11のときが「計算がややこしくて大変でした!!」（自動車保険の宣伝見たいです!）
A=
(-20/11　　　2　　-3)
( 1　　　-10/11 　 2)
(-2　　　 80/11　 6)
となるので(ア)と同様に連立方程式にします。
-20/11x+2y-3z=1/2・・・(13) x-10/11y+2z=3・・・(14)
-2x+80/11y+6z=-1・・・(15)　No2の回答者に従ってzを消去してみよう。
2×(13)+(15)　-62/11x+124/11y=0　⇔ x-2y=0・・・(16)　一方
2×(13)+3×(14)として　-7/11x+14/11y=10 ⇔ x-2y=-110/7・・・(17)
(16)(17)は解けない。所謂不能というやつです。よってa=-10/11のときは
(1)は解を持たない。今の計算を振り返って、rankA≠rank(A,b)であることを
見てみよう。これを確かめないと線形代数の定理をやった甲斐がない。
まず、
拡大行列(A,b)は
(-20/11　　　2　　-3　　1/2)
( 1　　　-10/11 　 2　　 3 )
(-2　　　 80/11　 6　　-1 )
これに行列の「行の基本変形」を施してrankを計算してみよう。
3行+2×1行
(-20/11　　　2　　-3　　1/2)
( 1　　　-10/11 　 2　　 3 )
(-62/11　124/11　 0　　 0 )
3行×(-11/62倍)し、さらに2行目を3倍。
(-20/11　　　2　　-3　　1/2)
( 3　　　-30/11 　 6　　 9 )
( 1　　　　 -2　 0　　 0 )
1行×2を2行目に加えて
(-20/11　　　2　　-3　　1/2)
(-7/11　　 14/11　 0　　10 )
( 1　　　　 -2　 0　　 0 )
2行目を(-11/7)倍して
(-20/11　　 2　　-3　　1/2 )
( 1　　 　　-2　　 0　-110/7)
( 1　　　　 -2　 0　 　 0 )　
・・・(18)となる。これが上の連立方程式の計算を「行基本変形」に
直したもの。このとき、同じ変形でAは
(-20/11　　2　　-3　)
( 1　　 　　-2　　 0　)
( 1　　　　 -2　 0　)
となる。「行基本変形」でrankは変わらないから
rankA=2(2行目と3行目が同じで1行目と2行目は一次独立だから）
また
(A,b)を行基本変形したものについては、(18)から
1行目と2行目と3行目は一次独立になる。実際
λ(-20/11,2,-3,1/2)+μ(1,-2,0,-110/7)+ν(1,-2,0,0)=0
とすると、すぐλ=0が出てμ=ν=0となるから。よって
rank(A,b)=3　となってrankA≠rank(A,b)となる。「解は存在しない」
[4]
以上より
答えは解は、
(1)a=1/2のとき、無数に存在し「解空間は直線をなす」
a≠1/2　かつ　a≠-10/11　のとき解は一意的に存在する。
よってa≠-10/11　のとき解は存在する。
(2)a≠1/2　かつ　a≠-10/11　のとき解は一意的に存在する。

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri）

方針としては、係数行列を A 拡大係数行列を B とすると

解が存在する条件は rank A = rank B
一意解の条件は rank(A) = 3 → det(A) ≠ 0

(1) はzを消去してから計算したほうがよいかもしれません。

お礼

ご回答ありがとうございます。でも、具体な解法プロセスがお教えていただけませんか？

回答No.1

Tacosan

日本語があやしいけど, 一般的には違います. もちろん「一般的には違う」というだけなので, この問題に限っては同じかもしれません.

「一意解を持たない」からといって「解を持たない」とは限らないので.