クラーメルの公式

質問

下記のようなx,y,zに関する次の連立方程式についての
問題を解いているのですが、解答がなく、自身の考えが
あっているのかどうかがわからず困っております。
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次の連立方程式が一意解を持つのは、aがどのような値の時か答えなさい。

x+3y+az=1
　2y+2z=1
x +2z=1
（aはパラメーターである。）
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〔自身の解答〕
係数行列の行列式を｜A｜とすると、
クラーメルの公式より、
　 ｜1 3 a｜
x=｜1 2 2｜ / ｜A｜
　 ｜1 0 2｜
y=・・・
Z=・・・
（y,zは省略させて頂きます。）
よって、文意の条件を満たすのは、
｜A｜≠0
すなわち、
(4-0)-3(0-2)+a(0-2)≠0
∴2a≠10
∴ a≠5

したがって、求めるaの値は、a≠5 である。
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となったのですが、あっていますでしょうか？

また、さらに、a≠5 のときの連立方程式の解を
答える場合には、文字aを含めたまま
x=4-2a / 10-2a
y=2- a / 10-2a
z=4　 / 10-2a
と解答すれば、いいのでしょうか？

初歩的な質問で申し訳ありませんが、
宜しくお願い致します。

回答No.2

quantum2000

線形代数学の演習問題かと思いますが、ａ≠５という答は合っていると思います。

なお、具体的な「一意解」のところで、
ｚ＝４／（１０－２ａ）
とあるのは、
ｚ＝３／（１０－２ａ）
が正しいと思われます。

また、線形代数学の演習問題でなければ、
連立方程式を「普通に」解いて、
ｘ＝（４－２ａ）／（１０－２ａ）
ｙ＝（２－ａ）／（１０－２ａ）
ｚ＝ ３／（１０－２ａ）
と（形式的に）求め、これが「一意解」となるためには、
ｘ，ｙ，ｚの共通な分母（１０－２ａ）が０でなければよいので、
１０－２ａ≠０
　　－２ａ≠－１０
　　　∴ａ≠５
となっていればよい。
としても求められますが。（ご参考までに。）

回答No.1

rabbit_cat

あってると思います。

わざわざクラーメルの公式を使うまでもなく、
連立一次方程式
Ax=b
で、|A|≠0なら、Aの逆行列が存在するので、
x = A^(-1) b
と一意になります。