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マクスウエルの方程式とは？
- マクスウエルの方程式は電磁気学の基礎を表す方程式であり、電気場と磁気場の関係を示します。
- Wikipediaのマクスウエルの方程式には、div D = ρ、D = εEという式があります。
- 一方、学生時代の教科書では、div E = ρ/ε0という式が記載されていました。この2つの式の違いについて疑問を抱いています。
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英語版のほうのwikipediaにはもう少し詳しく書いてあります http://en.wikipedia.org/wiki/Maxwell%27s_equations 以下はざっくり書きすぎて少々間違ってるかもしれませんが、 ミクロに見ると電荷が存在しているところ以外は真空なので、基本的に真空中のMaxwellの方程式で、電気変位Dも分極Pもでてきません。 媒質をマクロな視点で扱う場合に現象論的な場や物理量としてＤやPが導入されます。モルオーダーの数の原子や電子についての厳密な計算などできませんから。
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#7です。返答ありがとうございます。 ・・・こうなると、英語を読まないと駄目みたいですね・・・。 ちょっと待って下さい・・・(^^；)。
お礼
ありがとうございました。
#6です。 http://en.wikipedia.org/wiki/Maxwell%27s_equations (1) を読んでない手抜き応答です（英語だからです・・・(^^；)。） Macroscopicか？Microscopicか？という話はかなり、遠隔作用か？近接作用か？、言いかえれば、積分法則か？微分法則か？、という話につながります。近接作用（微分法則）を信じていたという意味において、マックスウェルは、首尾一貫してMicroscopicだったと思います。 しかしマックスウェルがいくら近接作用を信じたところで、19世紀に手に入る実験結果は、遠隔作用的でMacroscopicな結果ばかりでした。光の速度が有限でないか？という結果は、2つばかりありましたが、光が電磁場である事がわかるのは、ずっと後になってからです。 そうするとマックスウェルは、Macroscopicな現象をMicroscopicな法則で説明する必要に迫られますし、それがファラデイに出会って電磁場の研究に手を染めたマックスウェルの、一つの目標でもありました。熱力学を、統計力学で基礎づけるようなものです。その過程で、物質の誘電率εのような（怪しげな？）量を導入したのは、当然の成り行きだったようにも思えます。 (1)のURLを呼んで、どの辺りにマックスウェルへの不信感（？）を持たれたのでしょうか？。
お礼
ご回答有難うございます。 英語版Wikipediaを見ると、「Integral form 対 Differential form』 と 『Microscopic 対 Macroscopic』 とは、明確に別々の意味を持っていて、2x2=4種類の組み合わせが表になっています。 MicroscopicとMacroscopicの違いのポイントは、分極と誘電体の扱い方だと思います。 Microscopicでは電荷Q,ρに真電荷と分極電荷が含まれます。全ての電荷がQ,ρに集約されるので、残りの部分に少なくとも電磁気的性質は無く、真空と同じです。誘電体の性質は電荷Q,ρに含まれる分極電荷の挙動で表現できます。これをMicroscopicと呼ぶのは、No.5でご説明頂いた通りだと思います。 これに対してMacroscopicでは電荷Qf,ρfは真電荷だけです。誘電体は誘電率εの「物理的性質」を持つものとして扱われているようです。 英語版WikipediaのMaxwell's "macroscopic" equations という項目の説明中に、「These equations are more similar to those that Maxwell himself introduced. 」とありましたので、マクスウエル本人は方程式をMacroscopicで考えていたのだと理解しました。 この先は憶測ですが、恐らくマクスウエルの時代には誘電体の誘電率の正体が解明されていなくて、 D = ε0E + P = (ε0 + χ)E, ε ≡ (ε0 + χ) とは理解されておらず、誘電体を ε = εr・ε0という「物理的性質」を持つものと考えられていたのではないでしょうか。
#2です。結局ご質問の意図は、物質中のマックスウェル方程式の解釈、もしくは背景にある物理モデルの問題だと、受け取って良いのかな？と思いました。 ＞そう考えると私にはやはりdivD=ρもdivE=ρ/εもまやかしで、私の教科書にあるdivE=ρ/ε0最も正しいように思えます。 じつは同じ意見なんですよ。なので、 ＞少なくとも古典電磁気学では、電荷密度（分極電荷含む）の電場を伝えるのは真空だけ、という物質モデルがあるので・・・ と書いた訳です。 自分も、荷電粒子（真電荷）や分極電荷（電気双極子）の粒々の発生する電場が、その間の真空を伝わると思っています。ただし物質中のマックスウェル方程式を調べてみると、divE=ρ/εのＥは、誘電体への外部電場または、誘電体中の真電荷が発生する電場（もちろん真空を伝わる）を表す一方で、ρ＝[真電荷]＋[分極電荷]になっています。他方Ｄは、Ｅを仮に真電場と呼ぶと、Ｄ＝[真電場の電束]＋[分極電荷の電場（誘導電場で真空を伝わる）の電束]となっています。この意味で、「divD=ρ（電束）の方がマヤカシに見えます」と書きました。 そういう訳で、 ＞もし局所的に見るのであれば誘電体の中の荷電粒子が分極電荷として見えて来るはずで、むしろ局所的に等方一様な誘電体というのはあり得ない・・・ はずだ！、と言われれば、「それはそうですね」としか言えません。ただふつうは#5さんも仰っているように、そこまで詳しい定式化は行いません。それは電荷「密度」ρという言葉に、すでに現れています。 電荷の正体が荷電粒子なら、ρは離散的量なので、密度のような連続量と考えるのは、本当は正しくありませんがやってられないので、通常のマクロスケールでは点に見えるが、荷電粒子や電気双極子の粒々は見えてこない程度に小さな微小領域で、平均化し、ρを連続関数のように扱ったのが、物質中のマックスウェル方程式の結果と解釈すべきだと思います。 そうすると、 ＞とんなに不均質な材料でも、局所的に見れば均質だと、（一応は）考えられます。 は、誤解を招きますよね。数学モデルとして異方性を仮定すれば、とこまで微小に考えても異方性を持ちます。 ここで言いたかったのは、結局異方性の出現機構も、分極電荷「密度」ρdの分布状況「など」で決まるだろうから、連続関数であるρd「など」を微小領域で考えれば、誘電体は、各微小領域（誘電体の各点）では等方的な材料の集まり、という数学モデルになるだろうという事です。 この微小領域が、実用上の大きさを持てば、実際に、誘電体を数種類の誘電率を持つ等方性材料の集まりとして、計算するはずです。微小領域が、通常のマクロスケールでは点に見えるが、荷電粒子や電気双極子の粒々は見えてこない程度に小さければ、εを位置に関する連続関数として、テンソル化するだろうという話です。
お礼
有難うございます。 No.5の方にご紹介頂いた英語版のWikipediaを読ませて頂いて、疑問は解消しました。英語版Wikipediaでは、MicroscopicとMacroscopicがきちんと説明されていますし、ρとρfも明確に区別されています。日本語版とは随分違います。 それでもやっぱりマックスウエルの方程式の本質はMicroscopicだろう、εのような怪しいものをマックスウエルの方程式には持ち込まない方が良い、と思いたいのですが、Wikipediaによれば当のマックスウエル本人がMacroscopicで考えていたようなので仕方ありません。 皆様方のお陰で今までよりもう一段理解を深めることができたと思います。
- hitokotonusi
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普通に使われている分極や磁化がでてくる電磁気学はマクロな電磁気学と言われているもので、微分形で微小な領域を扱っているといいながらもある程度の大きさの範囲の平均的な振る舞いを見ています。そのあたりはまず理解しておいてください。 ミクロな電磁気学とマクロの電磁気学の差異などを調べられると、すっきりされるかもしれません。 >私の教科書のようにρは分極電荷を含む全ての電荷であるという位置づけならテンソルが登場することも無いのではないでしょうか？ テンソルになるのは結晶場のような原子を取り巻く環境の異方性によるもので、完全結晶のような均一に異方性を持っているような場合でもテンソルは登場します。これは、電荷をどう定義するかとは無関係で、媒質の本性に基づくものです。複屈折というのはご存じと思いますが、この複屈折性の媒質中を伝搬する光の取り扱いではテンソルが必須です。
補足
有難うございます。 何度か試してダメだったのですが、何故か先ほど突然、「教えてgoo」からでも頂いたこのNo.4の回答が見えるようになりました。 今回頂いたご回答に対して再質問をNo.3のお礼欄に投稿してしまいましたので、申し訳ありませんがそちらをご覧頂きご回答いただけるとたいへん助かります。度々申し訳ありませんが宜しくお願いします。
- hitokotonusi
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前者と後者でρの意味を変えるならどちらも等価です。 分極電荷ρpは ρp = - div P なので後者の場合ならρをρ＋ρpに置き換えて ε0 div E = ρ＋ρp ＝ ρ－divＰ div(ε0 E + Ｐ) = ρ で、電気変位がＤ＝ε0 E + Ｐなので結局同じになります。 電場がさほど強くない場合は分極Ｐは電場に比例し P = χE とかけ、ε0 ＋χが誘電率εなので D ＝ εE も成り立ちます。 異方性がある場合は感受率χがテンソルになり、結果、誘電率εもテンソルになります。 これはどちらでも同じです。 ですが・・・・ 普通、 ＞div E = ρ/ε0 と書いたらρは真電荷で真空中しか使わないと思います。
お礼
再度のご回答を有難うござ合います。私は「教えてgoo」のアカウントからここにアクセスしているのですがNo.4でいただいたご回答が何故か「教えてgoo」からでは表示されません。『OK Wave』の方でNo.4の回答を拝見いたしましたがOK Waveのアカウントは持っておりませんので、No.3のお礼欄を利用させて頂いてNo.4でいただいたご回答への再質問を書かせていただきます。 Wikipediaではマクスウエルの方程式は、マクロの電磁気学に関するものとして扱われているのでしょうか？ マクロの電磁気学でマクスウエルの方程式は成り立つのでしょうか？ 私の教科書では、マクスウエルの方程式はミクロに成り立つ理論式として扱われているように思います。 教科書にはD=ε0+PもD=εEも登場しますが、それは理論→実践という過程で近似を前提とした実用的な式、という位置づけです。 教科書では「真電荷のみの電荷密度」はわざわざ添字を付けて「ρ自由」と特別な形で記載されます。逆にこれらの実用的な式からマクスウエルの方程式に戻るようなことはしないので、教科書を読む限りマクスウエルの方程式にε0でないεが登場する、ということはありません。他の教科書は読んだことが無いので、別の教科書ではどのように扱われているのは、わかりません。 誘電体中の誘電率は物理現象ですが、真空中の誘電率は単位を整合するためのただの定数だと思います。 誘電率がテンソルであることが見方を変えるだけで変わってしまうとは思いませんが、私の教科書にあるようにマクスウエルの方程式に出て来るものが「ε0」という「定数」であるなら、マクスウエルの方程式自体はεという複雑な物理現象を内在している訳では無くて、むしろこの方程式と結晶中に局在する電荷とによってεという物理現象の働きを説明する為の道具になっているのではないかと思うのですが。
補足
有難うございます。 私の教科書の場合、ρは分極電荷を含む全ての電荷である、と明記されています。 誘電体は真空中に分極電荷があるというような位置づけで説明されていて、私にはたいへんすっきりした説明に思えます。 それでWikipediaの説明を見た時に、何か違うんじゃないか、と感じた次第です。 εやχがテンソルになってしまうのは本来電荷の働きである筈の分極の働きを無理矢理電界に比例するものであるかのように扱うから起きることで、私の教科書のようにρは分極電荷を含む全ての電荷であるという位置づけならテンソルが登場することも無いのではないでしょうか？
＞div E = ρ/ε0 においてε0を、物質の誘電率εとすれば、div E = ρ/εが誘電体中でも成立するのは、ご存知と思います。ただし条件が付きます。 ・等方一様性を持つ材料（誘電体）においては． (1) です。大抵最初は、(1)が成り立つような誘電体しか考えませんし、マックスウェルなんかは逆に、等方一様な誘電体で div E = ρ/ε が成り立つ事から、真空を誘電率に対する基準物質（もちろん等方一様）のようにみなしていました。 もう一つ注意すべきは、div E = ρ/ε が局所（微分）法則だという事です。とんなに不均質な材料でも、局所的に見れば均質だと、（一応は）考えられます。例えば、等方一様な誘電体が真空におかれて、空間全体での電場の様子を計算する際には、誘電体中と真空中では、それぞれ div E = ρ/ε div E = ρ/ε0 が成り立っていると仮定し、両者の境界で、ＥとＤの接続条件（境界条件）を与えます。 しかし境界条件は、誘電体と真空という材料配置の全体を見渡した時に、初めて必要とわかる条件です。つまり境界条件は、局所（微分）法則でなく、大域条件の一部です。よって境界条件は、局所（微分）法則の話とは別よ、という事になります。 でも誘電体が不均質過ぎて、均質材料の集まりとはみなせない場合もあります。このとき初めて仕方ないので、εをテンソル化する訳です。 ここまでは#1さんと、ほぼ同じと思います。 ＞ただし，誘電体も含んだ世界では，divD=ρの方が本質的で，divE=ρ/εはマヤカシです。（#1さんより） については、自分の意見は違います。 少なくとも古典電磁気学では、電荷密度（分極電荷含む）の電場を伝えるのは真空だけ、という物質モデルがあるので、divE=ρ/ε（電場）の方が本質的で（必要ならεをテンソル化する）、divD=ρ（電束）の方がマヤカシに見えます。 逆に磁場の場合は、磁束を伝えるのは真空だけ、という物質モデルがあるので、今度は磁場Ｈがマヤカシで、磁束Ｂが本質的に見えます。
補足
ご回答有難うございます。 誘電体というのは分極によって見かけの誘電率を上げている訳ですから、もし局所的に見るのであれば誘電体の中の荷電粒子が分極電荷として見えて来るはずで、むしろ局所的に等方一様な誘電体というのはあり得ないように思うのですが。 そう考えると私にはやはりdivD=ρもdivE=ρ/εもまやかしで、私の教科書にあるdivE=ρ/ε0最も正しいように思えます。
- FT56F001
- ベストアンサー率59% (355/599)
どちらかというと，Wikipediaの divD=ρが正しく， 教科書のdivE=ρ/ε0は真空中だけ正しい式で， 誘電体中ではウソです。 誘電率εを考慮して，divE=ρ/εとしても， 誘電率が変化する境界ではウソになります。 微分形より積分形の方がイメージがわくので，積分形で説明します。 まず，数学的には， divEを体積積分すると，表面から出て行くEの面積分， divDを体積積分すると，表面から出て行くDの面積分になります。 ∫V DdS=Q 電束密度D[C/m^2]を面積分すれば真電荷Q[C]になります。しかし， 電界E[V/m]を面積分した量[単位はVm]は 何だか分からない物理量になっていることに気がつきます。 電界E[V/m]は長さ[m]をかけて線積分すれば電位差[V]になりますが， 面積[m^2]をかけて面積分する意味が分かりません[何割か私見です]。 多くの電磁気の教科書は 「真空中」を前提にした章に，さほど前提条件を注意しないまま， divE=ρ/ε0と書いています。 これは，あくまでも真空中のみ正しい式です。 いきなり電界Eと電束密度Dを持ち出すと初心者が混乱する， 真空中ならD=ε0*Eと定数倍に換算するだけだ， まずは真空中のみで成り立つ式でいいから勉強してね， という教育的配慮はあるかもしれません。 ただし，誘電体も含んだ世界では，divD=ρの方が本質的で， divE=ρ/εはマヤカシです。
お礼
ありがとうございました。
補足
早速のご回答を有難うございます。 そうすると、divD=ρのρは、分極電荷を含まず、真電荷だけの密度を意味することになりますでしょうか。 教科書にある方のdivE=ρ/ε0のρには真電荷も分極電荷も含まれると思うのですが、どちらの式を採るかでρの意味が変わって来るということになりますでしょうか。 私の学生時代の教科書(ファイマン物理学という本です)では、まずdivE=ρ/ε0が説明され、D=ε0E+Pを変形した便宜的な近似式としてD=εEが説明されています。
お礼
有難うございました。 英語版のwikipediaが日本語版の説明とあまりにレベルが違うので驚きました。 Macroscopicの説明としては日本語版wikipediaでも正しいことはわかりましたが、英語版の方がずっと厳密で疑問に答えてくれました。 ρとρfの違いもきちんと区別されていて、良くわかりました。私の教科書の記載はMicroscopicを基本に置いている、ということのようです。でもMaxwell本人はMacroscopicで考えていたのですね。
補足
閉め切るのがたいへん遅くなって申し訳ありませんでした。たいへん参考になりました。ありがとうございました。