誘電体中の導体、分極電荷などについて。

質問

【導体が誘電率εの誘電体に囲まれているとき、真電荷の面密度ρとすると、
１：導体表面の前方の電場
２：分極電荷の面密度
はいくらか】

という問題があるのですが、真電荷というのは、導体の表面にある電荷のことですよね。その電荷に引き寄せられてマイナスの電荷が全体として導体の方を向いている、そのマイナス分を分極電荷という、と思います。（そういう理解です。）

質問なのですが、この「２」の出し方が分かりません。「１」は導体表面に微小面積dsをとって、電荷ρdsが作る電場…という具合に解いていくと思うのですが、「２」の方はよく分かりせん。解答を見ると、分極による表面密度をpとすると
EdS = 1/ε0(ρdS+pdS)
と式を立てているのですが…。なぜ「１」で求めたEをそのまま使っているのか分かりません。このEは表面の電荷だけが作ったEだから、分極電荷を式に入れたら、また違うのでは…？という曖昧な感じです。

導体の表面の電荷と分極電荷と電場の関係がよく分かりません。

よろしくお願いします。

回答No.2

suzukijun · ベストアンサー

質問の後半に，
＞なぜ「１」で求めたEをそのまま使っているのか分かりません。このEは表面の電荷だけが作ったEだから、分極電荷を式に入れたら、また違うのでは…？という曖昧な感じです。
とありましたが，「このEは表面の電荷だけが作ったEだから」という文をみて，こう思いました。

１：で求めたE（ρ/ε）は，僕の解答通りなら，誘電体内の電界です。つまり，導体表面の電荷が作ったEではなく，分極電荷の影響も考慮された電界です。だから，２：で，このEを使って解けるのです。
導体と誘電体が密着している場合は「１：導体表面の前方の電場」とは，誘電体の分極電荷のちょっと外側の電界です。この問題はこの設定だと思います。

それに対し，導体と誘電体の間に真空の隙間がある場合は「１：導体表面の前方の電場」とは，導体と誘電体の隙間の電界です。これはE=ρ/ε0 となりますが，誘電分極を考慮していません。この電界で２：は解けません。
nabewariさんはこの状態と勘違いしたのかな？と思ったのです。
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僕の考えたこの問題のイメージとして，正に帯電した導体の球の回りに，誘電体が密着してぐるりと覆っていると思ってください。
１：は導体のちょっと外側の電界を出せという問題です。負の誘電分極が内部にありますので，誘電分極に左右されない　∫∫Dds=Q(真電荷)　…(1)　で，電束密度をだし，D=εE　…(3)　を利用して電界を出しました。
２：で誘電分極を出せという問題は，誘電分極が入った式　ε0∫∫Eds=Q+Q'(真電荷+分極電荷)…(2)　に１：のＥを代入して出しました。　
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文が分かりづらくてすみません。-----------の間だけ見てくれた方が分かるかも・・

お礼

二度目の回答ありがとうございます。
おかげさまで理解できたと思います。ありがとうございました。

回答No.1

suzukijun

まず，ガウスの法則の確認ですが，
∫∫Dds=Q(真電荷)　…(1)
ε0∫∫Eds=Q+Q'(真電荷+分極電荷)　…(2)
D=εE　…(3)
１：導体表面の前方の電場
これは，導体のちょっと外側（誘電体を少し含む）閉曲面の電界を行っているのだと思います。その内部には Q+Q' がある。
(1)を適用して，
Dds=ρds　から，　D=ρ
よって(3)より，電界は E=D/ε=ρ/ε
２：分極電荷の面密度
上と同じ閉曲面で，(2)を適用して
ε0Eds=ρds+pds　から，　ε0E=ρ+p
よって，p=ε0E-ρ=ε0ρ/ε-ρ=(ε0/ε-1)ρ

つまり，１：のEは誘電体中の電界で，nabewariさんは，導体の外側で誘電体より内側の電界と勘違いしているだけではないかと思います。
見当違いだったらすみません。

お礼

回答ありがとうございます。
すみません。多分ご指摘のところが、私は分かっていないと思うのですが、
＞１：のEは誘電体中の電界で，nabewariさんは，導体の外側で誘電体より内側の電界と勘違いしている
がよく分かりませんでした…。
もし、よろしければ、別の言葉で教えていただけると嬉しいです。
勝手なことを言って、申し訳ありません。
よろしくお願いします。