機械力学の問題です。困っています。

質問

次の問題の途中式を含めた解き方と答えを教えてください。

問、半径R=8[m]の円径レール上を質量m=200[kg]の物体を滑らせる。レールの最高点Bで落下することなく　回転して通過させたい。物体の初速度を0としたとき、スタート地点Aの高さhをいくら以上にすればよいのか求めよ。ここで、レール上をすべる物体の高さ(重心位置)はRと比較して小さいので無視できる。また、レールと物体間の摩擦はないものとする。

よろしくお願いします。

回答No.1

ninoue · ベストアンサー

物理イメージが少し捉え難いのですが。

問題が垂直な円径レールの半径上の点から物体がを移動開始するのだったら解は無いと思われます。
(最初の移動開始点より上には戻ってこないので)

考えられる解は、円径レールの中心線を通る水平面内に垂直な分岐レール或は管が設けられており、その管を通って来た物体は円径レールの内部に垂直に上部から侵入し、その後スムースに動き続け、管には戻らないようになっている場合が考えられます。

その場合、物体は垂直管内の対応する円径レールの頂点:Bよりもhだけ高い位置:Aから落下を開始する必要があります。

摩擦がゼロと仮定しているので、物体はその後先ず円径レール内部を移動し続ける形となります。
レール内部を下に行くほど重力の加速度(或いは位置エネルギーを得てと考えても同じ)により加速し、上に行くほど減速する事になります。

円径レール内を回転して頂点:Bに戻って来た場合の速度は、垂直管内の円径レールの頂点Bに対応する水平面内の点での初速度:V0と同じです。

Bよりもhだけ上の点から落下を開始した場合、円径レールの頂点に対応する水平位置での初速度:V0はmghの位置エネルギーが運動エネルギーに変化した事を考えると、mgh=mV0^2/2 の関係が成り立ちます。

一方、円径レールの頂点Bで物体がレールから離れずに回り続ける為には、物体が円運動をする場合の遠心力が重力よりも大きい必要があります。
(重力の方が大きいと、物体はレールから離れて自由落下を開始するので)

この頂点での遠心力　F=mv^2/R=mV0^2/R が　重力mgよりも大きいとして解は求まるので、解いてみて下さい。

R,(v,V0),g,質量 等の単位は　m, m/sec, m/sec^2, kg 等に統一して下さい。
(最終的には質量mの大きさは関係ないようですね)