流体力学の流れ関数に関して

質問

突然ですが、流体力学において証明の問題がどうしても解けません。

渦無し流れにおいて（x0,y0)→(x,y)の任意の経路において、一周積分無しの場合、
∫。(udx+vdy)=∬(∂v/∂x-∂u/∂y)dxdy
を積分すると、
　x,y　　　　　　　　　x,y
∫(udx+vdy)　=　∫dφ　=　φ(x,y)　・・・(1)
　x0,y0　　　　　 　 x0,y0
となります。同様に、
∫。(-vdx+udy)=∬(∂u/∂x+∂v/∂y)dxdy
を積分すると、
　x,y　　　　　　　　　x,y
∫(-vdx+udy)　=　∫dψ　=　ψ(x,y)　・・・(2)
　x0,y0　　　　　 　 x0,y0
となります。
尚、∫。は一周積分を意味します。

ここで問題となるのが
この(1)のφ(x,y)と、(2)のψ(x,y)は積分経路に関らず一定値となる事を証明する事が僕は出来ませんでした。

本当に突然なのですが、何卒宜しくお願い致します。

回答No.1

spring135 · ベストアンサー

渦無し流れにおいては一周積分は０です。
よって
Ａ→Ｂ→C→D→Ａという閉じた経路を考えると

xB,yB　　xC,yC　　　xD,yD　 xA,yA　　
∫dφ　+　∫dφ　+　∫dφ　+ ∫dφ　=0
xA,yA　　 xB,yB　　　xC,yC　　xD,yD　　　　　　　　　　　　　　
積分の始点と終点を入れ替えると符号が逆転することに注意して変形すると　　　　　　
xB,yB　　xC,yC　　　xD,yD　 xC,yC　　
∫dφ　+　∫dφ　＝　∫dφ　+ ∫dφ　
xA,yA　　 xB,yB　　　xA,yA　　xD,yD　

B,Dに何ら条件を与えていないので、これはＡ→Ｃの経路によらず径路積分Ａ→Ｃが変わらないことを意味します。つまり経路独立なわけです。

お礼

回答有難う御座います。
成程、この積分の場合は経路に関らず一定と言う事で
僕の場合の回答になると
　　　　　　　x,y　　　 　　　x0,y0
∫。dφ=∫dφ　　　+ ∫dφ　　 = 0
　　　　　　　x0,y0|A　　　 x,y|B
なので
　x,y　　　　　　　x0,y0　　　 x,y
∫dφ　　 =　-∫dφ　=　∫dφ
　x0,y0|A　　　　x,y|B　　　　x0,y0|B
となるのですね！
やっと解けました！
お力添えを頂き有難う御座いました。