流体力学の問題

質問

流体力学の問題です。「二次元の渦糸の運動を考える。時刻t=0に、強さκの渦糸Aが(0,2)に、強さ2κの渦糸Bが(0,-1)にある。二次元渦領域の４つの普遍量Γ,X,Y,Lの値を求めて、渦糸A,Bの運動を示せ。」
という問題がわかりません。どなたか教えてください。

回答No.1

superkamecha · ベストアンサー

ちょっと遅いですが、回答してみましょう。

ＮＲＴＨＤＫさんが、既にそこそこ流体力学を学ばれたかたとして、説明します。
まずは、ｚ＝ｘ＋ｉｙ　として、フィールド（２つの渦糸）を複素ポテンシャルで表してください。
●・ｌｎ（ｚ－ｉｄ）の形が２つ足し合わされたものになりますね。ここで、ｚ－ｉｄ（ｄは実数）を極座標表示に変換します。つまり
ｚ－ｉｄ＝ｓｑｒｔ（ｘ＾２＋（ｙ－ｄ）＾２）・Ｅｘｐ（ｉ・ａｒｃｔａｎ（（ｙ－ｄ）／ｘ））
ですね。半ば公式なんですが、この式が、この問題のキーポイントでしょうね。

これを使いながら、複素ポテンシャルを実部（φ）と虚部（ψ）に分けますと、ψ（流れ関数）は、
２つの「ｌｎ√」の足し算の形になります。（次の計算のために、ｌｎは２つのままにしておきます）
このψをｘやｙで微分して、速度成分　ｕ（ｘ方向）と　ｖ（ｙ方向）とを計算します。それぞれ、２つの分数の和の形ですね。
ここで、まずｖの式に注目すると、ｙ軸上（ｘ＝０）では、いたる所で０なのが解ります。
これは、渦糸の相対距離が変化しないということを意味します。Ｌというのは、この相対距離のことでしょう。
更に、そのｙ軸上でｕ＝０となるポイントを計算してください。１点だけ存在しますね。
で、その点の座標は（０，１）のハズです。渦の強さの比率で渦糸間を内分した点のはずですから。
この点が「動かない点」です。（これをＰとしましょう）
次に、それぞれの渦糸の点での速度ｕを計算してください。勿論、渦糸の点は「特異点」ですから、特異項を除いて計算します。（留数定理でしたっけ？）
結果として、速度成分（ｕ）も渦の強さの比率になっていることを確認してください。
で、それぞれの渦糸について、Ｐ点から見た角速度が同じ物になることが証明できれば終わりです。
Ｐ点を原点とし、一定の角速度で回転する座標（多分、これがＸ，Ｙ）の上では2つの渦糸は静止しているということを示しているからです。
Γは循環なのでしょうが、ここではどう使うというのか、すみませんが、よく分かりません。

お礼

回答ありがとうございました。参考になりました。