高１ 数学Ｉの関数

質問

定義域が-2≦x≦3の関数f(x)=|x+1|+|x-1|+|x-2|の最大値は(ア)で、最小値は(イ)である。

という問題です。
|x+1|+|x-1|+|x-2|を場合わけして絶対値をはずしていくのかと思ったんですが、３つ絶対値が入ってる問題は初めてなのでよくわかりません。計算してみたら、
x＜-1のとき、y=-3x+2
-1≦x＜1のとき、y=2
1≦x＜2のとき、y=1
x≧2のとき、y=3x-2
となったのですが、ここからどうやって最大値と最小値を出すのかがわかりません。どなたか分かりやすく説明をお願いします。

回答No.4

sanori · ベストアンサー

私は絶対値の問題をグラフで解くのが苦手なので、式でやってみます。

ｙ　＝　｜ｘ＋１｜　＋　｜ｘ－１｜　＋　｜ｘ－２｜

－２≦ｘ≦－１の範囲
ｙ　＝　－（ｘ＋１）－（ｘ－１）－（ｘ－２）
　　＝　－３ｘ－１＋１＋２
　　＝　－３ｘ＋２
この範囲での
最大値は、ｘ＝－２のときなので、８
最小値は、ｘ＝－１のときなので、５

－１≦ｘ≦１の範囲
ｙ　＝　（ｘ＋１）－（ｘ－１）－（ｘ－２）
　　＝　－ｘ＋１＋１＋２
　　＝　－ｘ＋４　　（※）
この範囲での
最大値は、ｘ＝－１のときなので、５
最小値は、ｘ＝１のときなので、３
（※：　＃３さんのご回答では、－２ｘ＋４となっていますが、うっかりミスですね）

１≦ｘ≦２の範囲
ｙ　＝　（ｘ＋１）＋（ｘ－１）－（ｘ－２）
　　＝　ｘ＋１－１＋２
　　＝　ｘ＋２
この範囲での
最大値は、ｘ＝２のときなので、４
最小値は、ｘ＝１のときなので、３

２≦ｘ≦３の範囲
ｙ　＝　（ｘ＋１）＋（ｘ－１）＋（ｘ－２）
　　＝　３ｘ＋１－１－２
　　＝　３ｘ－２
この範囲での
最大値は、ｘ＝３のときなので、７
最小値は、ｘ＝２のときなので、４

最大値は８
最小値は３

お礼

わたしもグラフで解くのがとても苦手なので、sanoriさんの説明はとてもみやすく、本当にありがたかったです。
場合わけを細かくするということをしていなかったようです;;
とても参考になりました、ありがとうございました!!

回答No.3

info22

グラフを描いて解いた方が分かりやすいでしょう。

xの一次式の絶対値はVの字型のグラフ（傾斜は±1）になります。それをx=-1,x=1,x=2にずらせたものを加え合わせたグラフになります。
グラフから　-2≦x≦3　の範囲で最大値・最小値が簡単に求められます。
x=-2で最大値8, x=1で最小値3が求まります。

＞x＜-1のとき、y=-3x+2　○
＞-1≦x＜1のとき、y=2　×
y=-2x+4です。
＞1≦x＜2のとき、y=1　×
y=x+2です。
＞x≧2のとき、y=3x-2　○
グラフに描いてみてください。
間違いにも気がつくでしょう。また最大値、最小値とそれを与えるxの値も分かります。

回答No.2

10ken16

グラフを描くのが無難です。

|x+1|も|x-1|も|x-2|も、
x軸で跳ね返るようなＶ字形になります。
それを足したグラフは
折れ線グラフになるはずです。

場合分け自体は間違っていませんから、
もう少し計算してみましょう。

お礼

折れ線グラフということは、まわりの余計な線は消してもいいということですよね?
参考になりました!!ありがとうございました!

回答No.1

Quattro99

グラフに書けばわかるのでは？ （正確にはそれぞれf(x)=○○で、y=f(x)のグラフを書く）。
なお、2つめと3つめは違っていると思います。