数学

質問

A（A転置）の固有値がλで固有ベクトルがxのとき、内積（Ax、Ax）＝λ（x、x）になりますか？

回答No.4

muturajcp

(tA)=A転置
とすると
A(tA)の固有値がλで固有ベクトルがxであっても、
Aが実対称でない場合は(Ax,Ax)=λ(x,x)になりません

A=
(3 ,0)
(√5,4)
とすると
tA=
(3,√5)
(0, 4)
A(tA)=
(9 ,3√5)
(3√5,21)
固有方程式
(9-λ)(21-λ)-45=0
λ^2-30λ+144=0
(λ-6)(λ-24)=0
A(tA)の
固有値がλ=6で
固有ベクトルが
x=t(-√5,1)
で
Ax=t(-3√5,-1)
(Ax,Ax)=46≠36=λ(x,x)

A=
(i,0)
(0,i)
とすると
tA=A=
(i,0)
(0,i)
A(tA)=A^2=
(-1,0)
(0,-1)
固有方程式
(-1-λ)(-1-λ)=0
A(tA)の
固有値がλ=-1で
固有ベクトルが
x=t(1,0)
で
Ax=t(i,0)
(Ax,Ax)=1≠-1=λ(x,x)

tA~=(Aの共役転置)とすると
(tA~)Aの固有値がλで固有ベクトルがxであれば、
(Ax,Ax)
=(t(Ax)~)(Ax)
=(tx~)(tA~)(Ax)
=(tx~)(tA~)Ax
=(tx~)λx
=λ(tx~)x
=λ(x,x)

回答No.3

NemurinekoNya

Ax = λxだから
(Ax,Ax) = (λx,λx) = λ^2(x,x)
になるんじゃなかろうか。

λ^2はλの２乗の意味です。

回答No.2

Tacosan

「A（A転置）」とは何を意味するのでしょうか. また, 「内積」はどのように定義されているのですか?

回答No.1

151A48

λ^2・(x , x )　ではないですか？