初歩的な比の問題

質問

ある比の問題で、解答と異なる方法で解いたのですが、正しいかどうかがわかりません。

比が、m:n　のとき、
mからaを引いて、nからbを引きます。
この比、(m-a)：(n-b)　が、元の比(m:n)と同じになるとします。
このとき、a:b　は、m:nと同じ比になるのでしょうか？

具体的に、解答のほうを簡略して書いておきますと、

ｘ個と50個の2種類のものがあり、比は、x:50　・・・(1)
ここから、15個と30個をとり、
(x-15)：20　・・・・(2)
比が同じという条件より、(1)=(2)からx=25と求めるというものです。

このとき、(1)より、25:50　→　1:2　になりますが、
引いた個数の比も、15:30　→　1:2　になるので、
(1)と(2)の比が同じになるなら、引いた数の比でも求められるのではないかと思った次第です。
15個：30個より、直ちに(1)式のｘを25と求めてよいかどうかです。

証明はお手数をおかけしますので書かなくてもかまいませんが、この考え方が正しいかどうか教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.1

ferien · ベストアンサー

この比、(m-a)：(n-b)　が、元の比(m:n)と同じになるとします。
＞このとき、a:b　は、m:nと同じ比になるのでしょうか？
なります。
(m-a)：(n-b)＝m:nより、
ｍ（ｎ－ｂ）＝ｎ（ｍ－ａ）
ｍｎ－ｍｂ＝ｍｎ－ｎａ
ｎａ＝ｍｂ　両辺をｎｂでわると、
ａ／ｂ＝ｍ／ｎ
よって、ａ：ｂ＝ｍ：ｎ　です。（ただし、ｂもｎも０でないときです。）

お礼

とてもわかりやすい回答をいただきまして、助かりました。
ありがとうございました。