極限の問題

質問

n^2{(1＋a/n)^m-1-ma/n}
上の数列の極限を求める問題なのですが、コーシーを使うんだろうなというのは分かるんですが、解答を書くとなると頭と手が止まります。。。
どうかお願いします。
答えは、
m(m-1)a^2/2
になるはずです。

回答No.1

mmky · ベストアンサー

n^2{(1＋a/n)^m-1-ma/n}
答えは、
m(m-1)a^2/2
になるはずです。

答えから見ますと求める式は、
n^2{(1＋(a/n)}^m-n^2-man
のことですね。
{(1＋a/n)^m}は、
n→∞　で, (1/n)→0 ですから0の近くでテーラ展開
出来ますね。
y={1＋(a/n)}＾m=1+m(a/n)+m(m-1)(a/n)＾2/2!+・・
{y-1-(ma/n)}*n＾2=m(m-1)(a)＾2/2!
+m(m-1)(m-2)a＾3/(n*3!)+・・
lim[n→∞]{y-1-ma/n}*n＾2=m(m-1)a^2/2
になりますね。
ということでしょうかね。

お礼

まったく気がつきませんでした(^^;
テーラーっていうかこの場合ならマクローリン展開になるんですよね？でもおかげで解けました☆（ってか最後まで解いてもらってるけど…）
丁寧な解答ありがとうございました☆