数学、a^3+b^3+c^3-3abcについて

質問

a^3+b^3+c^3-3abc
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)

こうなる意味がわかりません。
宿題の答えは導いたのですが、
別解のここの下りががよくわかんなくて、
ヒントだけでなく詳しく教えてください！

3^2=9
2^3=8
^の右横の数字は指数です。

回答No.1

tomokoich · ベストアンサー

a^3+b^3+c^3^-3abc
=(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3-3abc
=[(a+b)^3+c^3]-[3ab(a+b)+3abc]
=(a+b+c)[(a+b)^2-(a+b)c+c^2]-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)[(a+b)^2-(a+b)c+c^2-3ab]
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2+2ab-ca-bc-3ab)
=(a+b+C)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
と因数分解できます
（公式にあります）

回答No.4

mister_moonlight

a、b、c についての対称式になってるから、そのように扱えばよい。

a＋b＋c＝m、ab＋bc＋ca＝n、abc＝k　とすると、a、b、c　は　方程式：t＾3-mt＾2＋nt-k＝0の3つの解。
t＾3-mt＾2＋nt-k＝0　→　t＾3＝mt＾2-nt＋k　より、a＾3＝ma＾2-na＋k であるから、これは　bとc　についても同じことが言える。
従って、a^3+b^3+c^3＝m(a^2+b^2+c^2)-n(a+b+c)＋3k であるから、a^3+b^3+c^3-3k＝a^3+b^3+c^3-3abc＝(a+b+c)*(a^2+b^2+c^2)-(ab＋bc＋ca)*(a+b+c)＝(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)。

回答No.3

noname#133363

まあ個人的な発想を書いてもしょうがないかもしれないけど、書きます。

a^3+b^3+c^3-3abc

で、-abcがちょうど3つあるのが気になる。
そこで、1つずつ、最初の3つの項に付け足す形にする。

(a^3-abc)+(b^3-abc)+(c^3-abc)

少しまとめよう、ということで、

a(a^2-bc)+b(b^2-ac)+c(c^2-ab)

単なる好奇心で、

(a+b+c){(a^2-bc)+(b^2-ca)+(c^2-ab)}-X

の形にしたらXはどうなるんだろう。
これは平方完成っぽい考え方。
好きな形の式を作って、その式に含め過ぎた部分Xを引く。

Xは「交差する積」の部分。

X=a{(b^2-ca)+(c^2-ab)}+b{(c^2-ab)+(a^2-bc)}+c{(a^2-bc)+(b^2-ca)}
　=0。

回答No.2

bgm38489

逆に展開してみたら？
a^3,b^3,c^3はそのまま残る。a*b^2とb*aｂがｑプラスマイナスで消しあって…残るのは、-abcが3個。展開したらこうなった、だから反対の因数分解もこうなる、というだけ。
ｘ＾２－ｙ＾２＝（ｘ＋ｙ）（ｘ－ｙ）となるのも、展開があってのことでしょ？
さらに言えば、１８÷３＝６も、３×６＝１８があってこそ。