a^3+b^3+c^3-3abc について。

質問

p=a^3+b^3+c^3-3abc　　　　　　　　　　　　　(1)
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)　　　　(2)　　　　
=(a+b+c)(a+bω+cω^2)(a+bω^2+cω)　(3)

(3)--->(2)--->(1) の展開で事足りますが、
(1)--->(2)は省略します。(2)--->(3)は、

q=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca
=a^2-(b+c)a+(b^2-bc+c^2)
=a^2-(b+c)a+｛(ω)(ω^2)b^2+(ω^2+ω^4)bc+(ω)(ω^2)c^2｝
=a^2+{(ω+ω^2)(b+c)}a+｛(bω+cω^2)(bω^2+cω)｝
=a^2+{bω+bω^2+cω+cω^2}a+｛(bω+cω^2)(bω^2+cω)｝
=a^2+{(bω+cω^2)+(bω^2+cω)}a+｛(bω+cω^2)(bω^2+cω)｝
={a+(bω+cω^2)}{a+(bω^2+cω)}

変形している振りをしているだけで、
実際は逆算しているので他の方法をご教示下さい。

A=
　　a b c
　　c a b
　　b c a

detA=a^3+b^3+c^3-3abc　を使うんじゃないかと思いますが、
行列も行列式も良く覚えていないので宜しくお願いします。

回答No.2

reiman · ベストアンサー

ちょっと不親切だったようなので1式追加します。

ｑ＝
ａ＾２－（ｂ＋ｃ）ａ＋ｂ＾２－ｂｃ＋ｃ＾２＝
ａ＾２－（ｂ＋ｃ）ａ＋（ｂ＋ωｃ）（ｂ＋ω＾２ｃ）＝
ａ＾２＋（ω＾２＋ω）（ｂ＋ｃ）ａ＋ω＾３（ｂ＋ωｃ）（ｂ＋ω＾２ｃ）＝
ａ＾２＋（ω＾２＋ω）（ｂ＋ｃ）ａ＋（ωｂ＋ω＾２ｃ）（ω＾２ｂ＋ω＾４ｃ）＝
ａ＾２＋（ω＾２＋ω）（ｂ＋ｃ）ａ＋（ωｂ＋ω＾２ｃ）（ω＾２ｂ＋ωｃ）＝
（ａ＋ωｂ＋ω＾２ｃ）（ａ＋ω＾２ｂ＋ωｃ）

お礼

２度もありがとうございます。（意味がわからなかった。）というのは、（私の書き込んだものとの相違がわからない。）ということで、すみませんでした。　＃１の方がスマートかと思います。　Ｒ様なら（ユニタリー行列）をご存知のはずで、（determinantもmatrixも忘れた。）と書いたので、遠慮なさったか/行列からは導出できないのかと。・・・再回答を求めているのではないので誤解なきよう御願い致します。

補足

(ユニタリー行列)ではなく(エルミート行列)でしょうか、違いも判らず（複素化された行列）があるらしいので、恐縮至極です。

回答No.3

Tacosan

a^2 - (b+c)a + (b^2-bc+c^2) = 0 を a に関する 2次方程式と思って無理矢理解の公式につっこむと
a = [(b+c) ± (b-c)√3i]/2, つまり
a = b[(1 + √3i)/2] + c[(1 - √3i)/2] = -bω^2 - cω , a = b[(1 - √3i)/2] + c[(1 + √3i)/2] = -bω - cω^2
が解であることがわかります. だから
a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = (a + bω + cω^2)(a + bω^2 + cω)
と因数分解できることになります.

お礼

回答有り難う御座います。実は今朝始めてこの因数分解をやって見ようと思ったときにT様のように考えたのですが、ハヤトチリで諦めました。見た目は別として最終形を知らなくても出来ると言ういみではこちらの方が優れていると思います。学識のあるT様が行列に触れられなかったので満足しスレッド締めたいと思います。(申し分けありませんがPが均等になるようにさせて頂きます。）

回答No.1

reiman

ｑ＝
ａ＾２－（ｂ＋ｃ）ａ＋ｂ＾２－ｂｃ＋ｃ＾２＝
ａ＾２－（ｂ＋ｃ）ａ＋（ｂ＋ωｃ）（ｂ＋ω＾２ｃ）＝
ａ＾２－（ｂ＋ｃ）ａ＋ω＾３（ｂ＋ωｃ）（ｂ＋ω＾２ｃ）＝
ａ＾２－（ｂ＋ｃ）ａ＋（ωｂ＋ω＾２ｃ）（ω＾２ｂ＋ω＾４ｃ）＝
ａ＾２－（ｂ＋ｃ）ａ＋（ωｂ＋ω＾２ｃ）（ω＾２ｂ＋ωｃ）＝
（ａ＋ωｂ＋ω＾２ｃ）（ａ＋ω＾２ｂ＋ωｃ）

お礼

回答ありがとうございます。最初意味がわからなかったのですが、
（ωｂ＋ω＾２ｃ）＋（ω＾２ｂ＋ωｃ）を頭の中で計算して－（ｂ＋ｃ）と理解できました。２４時間ぐらいはスレッドを締めずにいたいと思います。