曲線の方程式の求め方が分かりません

質問

点(a,0)を中心とする半径aの円Cの点(2a,0)における接線mを考える。m上の点Pに対して、線分OPと円Cの交点をQとするとき、OX=PQとなるような線分OP上の点Xの描く軌跡の方程式を求める問題です。どうやらシソイドになるようなのですが、どうしてもシソイドの方程式を導くことができません。分かる方いましたら教えてください。

回答No.2

spring135 · ベストアンサー

P(2a,p)とすると

直線OP:y=px/2a

円C:(x-a)^2+y^2=a^2

OPとCの交点として

Q(8a^3/(p^2+4a^2),4a^2p/(p^2+4a^2))

X(x,y)とするとXはOP上にあるので

y=px/2a (1)

OX=PQより

x^2+y^2=(2a-8a^3/(p^2+4a^2))^2+(p-4a^2p/(p^2+4a^2))^2

(1)を用いて整理すると

x=2ap^2/(p^2+4a^2) (2)

y=p^3/(p^2+4a^2)　　　(3)

(2),(3)よりpを消去して

x^2+y^2=2ay^2/x

x^3+xy^2-2ay^2=0 (4)

このままでは見にくいので極座標表示する。

x=rxosΘ

y=rsinΘ

を(4)に代入して

r=2asin^2Θ/cosΘ

これがシソイドの式である。

回答No.1

yuuyuu9

A(a,0)
P(0,p)
X(Xx,Xy)
Q(Qx,Qy)
点Qから直線Y=2aに垂直に下した垂線とY=2aとの交点をR(Rx,Ry)
とします。

まず、線分OPの傾きをtとおくと(t=tanPOA)
線分OP:y=tx となる。
また円C：(x-a)^2+y^2=a^2　より、
線分OPと円Cの二つの交点は
(0,0)
(2a/(1+t^2),2at/(1+t^2))←これがQ
となる。

次に、図に書いてみたら分かりやすいけど
線分OXと線分QPは同じ直線状にあるので傾きが同じ(=t)
かつ、長さも等しいので、
線分OXのx成分＝線分QPのx成分
つまり、Xx=QR
ここでQR=2a-{2a/(1+t^2)}=2at^2/(1+t^2)=Xx
線分OXの傾きはtだから、
Xy=2at^3/(1+t^2}

これでXの媒介変数表示(パラメータ表示)の方程式は完成。
Xx=2at^2/(1+t^2)
Xy=2at^3/(1+t^2}

xy座標に直すなら、
XxかXyの式を「t=」の形に直してもう一方に代入すればでる。

計算ミスしてたらごめんなさい