波動関数の近似

質問

井戸型ポテンシャルの波動関数（基底状態）を、オイラー法を用いて数値的に出し、グラフにしました。オイラー法は近似なので誤差があると思うのですが、誤差がどのくらいあるのかを調べるべく解析的に出したグラフと比較したいのです。基底状態の波動関数を解析的に解いてエクセルにグラフとして表すにはどのようなことをすれば良いのでしょうか？
物理学については無知なので宜しくお願いします。

回答No.4

2718281828 · ベストアンサー

> 具体的に、どの式にどのような値を入れれば基底状態の波動関数の値が出て、(略)

了解です。ようやく見えてきました。

基底状態とは、エネルギーが一番低い状態です。二番目のサイトのエネルギー固有値の式にある通り、エネルギーは連続した値にはならず、自然数 n で表される飛び飛びの値になります。ここで、一番低いエネルギー固有値に対応する波動函数が、基底状態の波動函数ということになります。つまり n = 1 の波動函数が基底状態の波動函数を表しています。

ご指摘の通り、sinの式です。そして n は k の中に含まれていることにご注意ください。

補足

何度もお世話になります。少し気になったことが２点あるのでお聞きします。
まず、式はsinの式を用いるとのことですが、下のサイトですとn＝１の時はcosの式になっていますよね？基底状態のグラフは奇関数になっているのに、これはどういうことなのでしょうか？
もう一点は、解析解は井戸が無限の深さではないと求められないのですか？自分のオイラー法の近似は深さをV0＝４、範囲をL＝ー４～４として求めたのですが、これだと解析的には求められず、近似との比較は出来なのでしょうか？

回答No.7

2718281828

> 「COS(A3*PI()/180*1/8*$A$1)*$A$2」（$A$1は周期、$A$2は振幅）みたいな感じで計算して地道にやっているのですが、

それで良いと思います。が、cos()の中の 1/8 は何でしょうか。周期（というより波数ですね）が $A$1 で、A列に 0～a（井戸の幅） が入るのであれば、1/8 は不必要ではありませんか？

お礼

そうですね。1/8は必要ありませんね。私の勘違いだったみたいです。ともあれ、それらしいグラフは描けたので、今回はこれにて一件落着とさせてもらいますね。ただ、自分としても完璧な達成感にはまだ乏しいので、プログラムを少し勉強してもう一度やってみたいと思います。今回は長々とお付き合い頂き有難う御座いました。今後、また何か質問があった際には宜しくお願いします。

回答No.6

2718281828

提示されたプログラムは数値解法のプログラムですので、それを使って解析的に解くことは不可能です。私が言っているのは、紙と鉛筆を使って解析的に求めた解（函数）を、グラフ上にプロットするために数値化するという話です。

紙と鉛筆を使って解析的に求めた解（函数）を f(x) とします。すると、プログラムのコアの部分は以下のようになります。

for(x = x_min; x <= x_max; x += delta_x) {
　　printf("%e, %e\n", x, g(x));
}

もし、これをベースにご自分でプログラムが書けないようなら、私も何から回答すれば良いのか、判断つきかねます。どうも話が噛合っていないようなのですが、私の回答が分かり難く不親切だと思われるようでしたら、ご指摘下さい。

補足

私自身も、何を質問して何を知りたいのかが分からなくなってきました（笑）　質問した当初、解析解をグラフに表すのはもっと単純かつ簡単なものであると思っていたのですが、今までの話の流れから、そんなに容易いものではないのですね・・・。　ちょっとプログラムは無理そうなので、自力でエクセルで５度刻みに「COS(A3*PI()/180*1/8*$A$1)*$A$2」（$A$1は周期、$A$2は振幅）みたいな感じで計算して地道にやっているのですが、これでは駄目だと思いますか？もし私が大きな勘違いをしているようなら、指摘してもらえると幸いです。

回答No.5

2718281828

> 何度もお世話になります。
お気になさらずに。最後まで付き合いますよ（笑）。

> まず、式はsinの式を用いるとのことですが、

これは失礼。うっかりしておりました。原点がどこかというだけの問題です。原点を井戸の端にとれば ψ=Csin(kx)になります。疑問が残るようであれば、実際にグラフを描き比べて下さい。

> もう一点は、解析解は井戸が無限の深さではないと求められないのですか？

井戸の外では解析解は得られません。井戸から十分に遠ければψは0に収束する、井戸の端でψは滑らかにつながる、などの条件で大雑把なグラフを描ける程度です。

有限深さの井戸型ポテンシャルでの波動関数を解析的に解きたいというのが本来のご質問であったなら、『井戸の中なら解析的に解けますが、井戸の外は無理です。』というのが回答になります。

ちなみに、エクセルを使ったグラフ描画の方は上手く出来ていますか？

補足

なるほど。sinとcosの違いは原点によるものでしたか。言われてみれば納得ですね。
エクセル上での数値計算は方法が全く分からないので、プログラムからエクセルに出力しようとしてるのですが、思ったように解析的に解かせるプログラムが作れないです・・・。
http://www12.plala.or.jp/ksp/qumtam/squarewall-simu/squarewall-simu.html
に掲載されてるプログラムを改良して解析的に解かせるようには出来ませんか？

回答No.3

2718281828

どういう事情かわかりませんが、せっかく興味を持たれたのですから最大限ご協力させていただきたいと思います。私はこれまで実質的にあなたの役に立つような回答は何一つしておりませんが、ようやくご質問の内容が固まってきましたので、これからはお役に立てると思います。

とりあえず参考サイトを紹介します。図・数式入りなので、私がここで説明するよりは分かり易いでしょう。

http://www12.plala.or.jp/ksp/qumtam/squarewall/squarewall.html
http://csx.jp/~imakov/quantum/well1.html

その上で分からないことを補足に入れて下さい。もし、上記サイトの解説がチンプンカンプンというなら、微分方程式の解法を基礎から学んでいただく必要があります。あなたが諦めない限り私もお付き合いしますので、お気軽に追加質問をして下さい。

>　解析的に解くのもやはりプログラムが必要なのでしょうか？

必要ありません。解析的に解いたものをグラフにするときに、使っても構わないという程度です。函数をグラフ化するには、数値化する必要です。エクセル上でもできますが、数値計算プログラムが書けるがエクセルのことは良く知らないという人なら、プログラムでやった方が楽でしょう、という程度です。

微分方程式を指定すると、解析解を計算してくれるプログラムはありますが、私が書いたのはそういう意味ではありません。

補足

ご親切に有難う御座います。紹介をしてくれたサイトは、２つともオイラー法の近似をする際に参考にしました。特に上のサイトにはオイラー法を用いたプログラムも掲載されているはずです。
サイトに載ってある微分方程式は、計算自体は理解出来ます。しかし、その式が波動関数にどのようにして結びつくのかが見えてこないのです。具体的に、どの式にどのような値を入れれば基底状態の波動関数の値が出て、どのようにすれば解析的なグラフになるのかが理解出来ません。下のサイトでいう「波動関数を求める」の所に載ってる式を用いるのでしょうか？基底状態のグラフは奇関数なので、Sinの式ですかね？

回答No.2

2718281828

補足ありがとうございます。

さて。

1)正直、答えるのが難しいです。あなたの知識の程度がさっぱり読めないからです。オイラー法で波動関数を数値計算で解くプログラムを書けるということは、波動関数と微分方程式解法について、そこそこの知識・技術をお持ちの筈です。それだけの力があれば井戸型ポテンシャルの波動関数は黙っていても解けるはずですが。あなたが何に躓いているのかが読めないので、ポイントを絞り切れないのです。

お手数ですが、何をどこまでやって、どこが分からなかったのか、再度補足願います。
（もしかして工業高専の3年生で、数値計算演習の課題で自分なりに検証してみたいけれど、量子力学はまだちゃんと習ってない…ということですかね）

2)は簡単です。解析的に求めた解を f(x) とします。あなたがプログラムを別に書けるということなので、求めたい x の範囲でf(x)を計算するプログラムを書いて下さい。すぐかけますよね。これをファイルに吐き出して、エクセルに取り込みます。後はグラフ（散布図として）に書くだけです。

ファイルへの出力形式は

-1.0, 1.245
-.9, 1.110
…

のように、

[あるxの値] [カンマ] [f(x)の値] [改行]

が無難です。

補足

工業高専というわけではないのですが、量子力学は全くやってませんね。無理とは思ったのですが、ちょっとした事情で今回のをやることになりました。
オイラー法のはネットに落ちてたのを参考にしたので、自分の知識や技術ではないです。解析的に解くのもやはりプログラムが必要なのでしょうか？もし必要ならば、どのようなプログラムになるのでしょうか？
（２）に関して、回答有難う御座いました。

回答No.1

2718281828

質問内容を確認したいのですが、

1)基底状態の波動関数を解析的に解く方法
2)その結果をエクセルにグラフとして表す方法

このどちらをご質問でしょうか。

補足

早くの返答、有難う御座います。
質問は（１）、（２）の両方です。宜しくお願いします。