三角関数の近似の問題

質問

三角関数の近似の問題

以下式の(1)式に(2)式の条件を適用すると、(3)式のように近似できます。
しかし、なぜ(3)式のように近似できるのかわかりません。

ちなみに、これは量子力学における1次元の束縛状態の、
ブロッホの定理を使って周期的ポテンシャルの中のエネルギーバンドを
求める問題の中で出てきました。

回答No.2

Mr_Holland · ベストアンサー

bρ^2=const., b→0, V0→0 の条件から、
　　bρ→0, ρ→∞
となります。

　このことから、1次までの近似をしますと、次のようになります。
　　cosh(bρ)→1
　　sinh(bρ)→bρ

　あとは、これらの関係を式（1）に代入して整理していけば求められます。

　-1≦cos(ak2)cosh(bρ)-(k2^2-ρ^2)/(2k2ρ) sin(ak2)sinh(bρ)≦1
　-1≦cos(ak2)-(k2^2-ρ^2)/(2k2ρ) sin(ak2)bρ≦1 （1次近似）
⇔-1≦cos(ak2)-(bk2^2-bρ^2)/(2k2) sin(ak2)≦1
　-1≦cos(ak2)+bρ^2/(2k2) sin(ak2)≦1　　　（∵b→0）
　-1≦cos(ak2)+(abρ^2/2)/(ak2) sin(ak2)≦1　　（a≠0の条件が必要）
∴-1≦cos(ak2)+γ sin(ak2)/(ak2)≦1

　ちなみに、式（３）のsinの中のkxはk2の誤記ですよね。

お礼

親切丁寧なご回答、誠にありがとうございました。
無事理解することができ、大変うれしく思っております。

ちなみに、式（３）のsinの中のkxはk2の誤記です。

回答No.3

htms42

ｓｉｎｘとｓｉｎｈｘ
ｃｏｓｘとｃｏｓｈｘ
は異なるということが分かっておられないのではありませんか。
質問のタイトルを見るとそういう感じがします。

ｘ＜＜１の時
ｓｉｎｘ～ｘ　　　　ｓｉｎｈｘ～ｘ　　　　
ｃｏｓｘ～１　　　ｃｏｓｈｘ～１

この範囲ではよく似ていますが。

お礼

ご回答ありがとうございます。

三角関数と双曲線関数の違いは、わかっておりました。

＞ｘ＜＜１の時
＞ｓｉｎｘ～ｘ　　　　ｓｉｎｈｘ～ｘ　　　　
＞ｃｏｓｘ～１　　　ｃｏｓｈｘ～１
＞
＞この範囲ではよく似ていますが。

これに気づいていませんでした。

回答No.1

Tacosan

k_2 が定数でいいなら, b\rho がどうなるかを考えるとわかる.

お礼

ご回答いただきありがとうございます。
b\rhoがどうなるかをどう考えればいいのか、わからず考えている最中です。