一次変換の証明

質問

一次変換ｆと、ｆを表す行列ＡについてＡの逆行列が存在すれば、
ｆによって直線：pベクトル＝aベクトル+tdベクトル（dベクトルは0ではない）は、直線に移ることを証明せよ。

この問題を教えていただけませんか？

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

おはようございます。

この問題が示している一番大事なポイントは「線形性」ですが、
証明自体のポイントは「逆行列の扱い」になります。

ベクトル：p→の fによる写像は、線形性により次のように表されます。
Ap→
＝ A(a→+ t*d→)
＝ Aa→+ t*Ad→

この変換されたベクトルについて、Ad→≠ 0→であれば直線を表すことが示されます。

d→≠ 0→かつ Ad→＝ 0→となるとき
Aが逆行列をもつとすると、A^(-1)Ad→＝ 0→より d→＝ 0→となりd→≠ 0→の条件に矛盾する。
よって、「d→≠ 0→かつ Ad→＝ 0→を満たす行列：A」は逆行列をもたない。
問題では「Aの逆行列は存在する」とあるので、Ad→≠ 0→であることが示されます。

補足として、
Aが逆行列をもたないとき、Ad→＝ 0→はベクトル：d→を零ベクトルに移す変換を表すこととなり、p→は直線を表さなくなります。
（実は固有値＝ 0のときであり、点への写像となる。）

補足

早速のご回答、ありがとうございます。

再度の質問なのですが、
この変換されたベクトルについて、Ad→≠ 0→であれば直線を表すことが示されます。
はどうしてでしょうか？

回答No.4

naniwacchi

#3(#1,2)です。

すみません、#3の説明で間違いがありました。

＞いま A≠ 0のときを考えているので、どの成分も 0ではないことになります。
「すべての成分が 0とはならない。いま、d≠ 0のときを考えると・・・」
というのが正しい内容になります。
b≠ 0や c≠ 0のときは、最後の直線の式が違った式になります。

失礼しました。

お礼

ご回答ありがとうございました。
やっと、すべての疑問が解決いたしました。
この度は、本当にありがとうございました。

回答No.3

naniwacchi

こんばんわ。

＞Aが逆行列をもたないときは、点への写像もしくは原点を通る直線への写像と教わったのですが、どうなのでしょうか？

この内容は正しいです。
Aが逆行列をもたないときをさらに次の 2つに場合分けします。
(i) A＝ 0のとき
(ii) A≠ 0のとき

(i)のときは、明らかに原点に移されます。

(ii)のとき
行列Aの成分を(a b)(c d)とおいてみます。（うまく書けなくてすみません。）
逆行列をもたないので、行列式：ad-bc＝ 0より ad＝ bcとなります。
いま A≠ 0のときを考えているので、どの成分も 0ではないことになります。
すると、d＝ bc/aとなります。

ここで、点(x, y)の写像をみると
A(x, y)
＝ (ax+by, cx+dy)
＝ (ax+by, cx+ bc/a*y)
＝ (ax+by, c/a*(ax+by))
＝ (ax+by)*(1, c/a)
※ベクトルは本来「縦書き（列ベクトル）」として書かれなければなりません。

任意の点(x, y)の写像は、原点を通り (1, c/a)を方向ベクトルとする直線になります。
式で表せば、cx- ay＝ 0に移されるということになります。

イメージとしては、「平面全体がある直線に押しつぶされている」ということになります。
（直線上の点が移されるというよりも、平面全体が直線に移されているということです。）

(ii)の部分の議論は、「不動点・不動直線」といった内容にも通じるものです。
そのときには、「固有値」も関わってきます。

考える変換前の直線が cx- ay＝ 0であれば、変換されても cx- ay＝ 0になる。つまり、不動直線であることになります。
かつ、固有値が 1となるときは、ただの不動直線ではなく「不動点の集まり」ということになります。

そもそもの証明は、ある種単純な話ですが、
その例外を考えると奥が深い内容が含まれていることになります。

回答No.2

naniwacchi

#1です。

＞この変換されたベクトルについて、Ad→≠ 0→であれば直線を表すことが示されます。
＞はどうしてでしょうか？

Ap→＝ Aa→+ t*Ad→
において、
Ad→には、実数：tがかかっています。
この tの値に応じて Ap→の点は移動することになります。

言い換えれば、
・元の直線の方向ベクトルは、d→
・変換後の直線の方向ベクトルは、Ad→
であり、これが零ベクトルでなければ直線を表すことになります。

補足

早速のご回答、ありがとうございます。
この疑問については、解消しました。

＞Aが逆行列をもたないとき、Ad→＝ 0→はベクトル：d→を零ベクトルに　移す変換を表すこととなり、p→は直線を表さなくなります。
　（実は固有値＝ 0のときであり、点への写像となる。）
に関しての疑問なのですが、
Aが逆行列をもたないときは、点への写像もしくは原点を通る直線への写像と教わったのですが、どうなのでしょうか？

何度も質問して、申し訳ありません。