この数学の問題には公式はあるのでしょうか？
2以上150以下の整数nに対して、<n>はnの約数の中で2番目に大きい整数を表すことにします。
例えば6の約数は、1,2,3,6なので<6>=3、7の約数は1,7なので<7>=1です。
問1．2以上150以下の全ての偶数nに対する<n>の和、すなわち、<2>+<4>+<6>+・・・・・+<150>を求めなさい。
問2．2以上150以下の全ての3の倍数nに対する<n>の和、すなわち、<3>+<6>+<9>+・・・・・+<150>を求めなさい。
問3．2以上150以下の全ての整数nに対する<n>の和、<2>+<3>+<4>+・・・・・<150>を求めなさい。
なお、2以上150以下の整数nのうち、<n>=1であるものは35個です。
これをそれぞれ解いてみたのですが
全て答えは導いたものの、全問不正解でした・・・・
（全部微妙に正解の±10以内に収まる程度の間違いでした＝ただの計算ミスという・・・・）
問1は、それぞれの<n>を書き記しているうちに
答え＝1～75の和ということに気づき計算しました。
ただ、計算間違いで・・・採点後、電卓で計算し直したら合いました。
私の導き方としては、1～75までを紙に書き記して、
隣の数字同士を足してという形で出しました。
母曰く公式があるのではないかということですが、
これは開成中学の入試なのですが
これを一番間違いにくい方法で答えを導く場合は
１～１００までを足した和から１００～７６までの和を引く方法でしょうか？
それとも１～１０の和と、１～１００の和は覚えておく人も多いかと思いますが（私はそのたびに計算すればいいやというので覚えていませんが・・・）
１～１０，１～２０，１～３０，１～４０・・・・と10単位で和を覚えていたりするのでしょうか？
（開成中学を受ける人は）
問2はこれも、<n>を書き出している最中に法則性は見いだしたのですが
3の倍数は、奇数、偶数、奇数、偶数・・・となり
倍数が奇数のほうは、<n>が2ずつ増えて、1,3,5,7,・・・・で49まで。（それぞれ3の奇数の倍数を3で割ったものが<n>）
倍数が偶数のほうは、<n>が3ずつ増えて3,6,9,12,15,・・・・75と3の倍数になっている。（それぞれ3の偶数の倍数を半分にしたもの）
と分かったのですが、公式あるのかな？と思い、公式があったとしても知らないので
全部を問1の時みたいに足して答えを導き出しました。
（計算ミスはしましたが・・・・。問1、問2ともにそうだったのですが、紙の大きさの関係で、横に20個ぐらいしか数字を書けず、それぞれ20個ずつ数字を書いて、導いて、3桁の数になったものを最後に３～４個ほど足して答えを出したのですが、その最後の3桁の足し算にミスがありました（笑）ちゃんと筆算したんですけどね、パッパとやったもので（笑）
（文面で分かるかとは思いますが、実際に受験したわけではないので・・・家で気軽にやってました）
問3は
偶数の部分は問1で導き出したので
後は奇数部分を導いて、問1の答えと足せばいいのですが
（問1で計算ミスがあった時点で、これも正解するわけないのですが）
奇数の数字を全部書き出して、それぞれ<n>を求めました。
で、1の数は全部で35個ということで、偶数の<2>が1なので、奇数では全部で34個あるということで
最後まで、<n>を求めて1の数がきちんと奇数内で34個あるかも確認をしました。
結果、1つ55の<n>を5と書いていて・・・・本来は11なので、
答え合わせしたときに、6ずれてると分かり、計算ミスは無かったので
探してやっと、55の<n>が間違っていることに気づき、修正し、納得しました。
これも公式はあるのでしょうか？
それぞれ計算ミスは合ったものの解けたし、納得できない点は無かったのですが
それぞれ公式とか、もっとやりやすい、簡単な解き方あるのかなと思い質問しました。
ただ、たぶん1時間試験かと思うのですが
意外と問題数が少なく、時間配分的にも、全てを大体均等に時間分けしたら
この問題は15分ぐらいですべて解ければいいので、
その時間だと、これ以上簡単な方法は無いのかなとも思ったのですが。
（地道にコツコツ解くしか無いのかな・・・と）
お礼
ありがとうございます。 漸化式を頭に入れると確かにすぐに導けそうです。