三角形の、ある角を最大にするｘの値。

質問

点Ａ（-2,4)、点Ｂ(3,9)、点Ｃ(a,0)を頂点とする三角形ＡＢＣがある。

　a>0のとき、∠ＡＣＢが最大となる時のaの値を求めよ。

　　答えは　a = 6√2－6 となるらしいですが、どうもよくわかりません。

　中学の問題です。

回答No.2

staratras

2点A,Bを通る円を考えます。このような円の中心は、線分ABの垂直2等分線上にありますが、円の半径を大きくするにつれて、円はｘ軸に近づき、あるところでｘ軸に接し、それ以上円の半径を大きくするとｘ軸と2点で交わるようになります。(この線分ABを垂直に2等分する直線の式は、ABの式がy=x+6であることから、y=-x+7 です)

角ACBはこの円の弧ABに対する円周角なので、円の中心が線分ABから遠ざかるほど角ACBが小さくなることを考えると、この円がｘ軸と接するときの接点が、角ACBを最大にする点Dです。CからX軸に垂直に正の方向に延長して、この円との交点をDとするとCDは円の直径です。直径に対する円周角なので角DABは直角で、三角形DABに三平方の定理を適用します。

円の中心は直線y=-x+7上にありますので、点(a,7-a)が円の中心で、D(a,14-2a)だから、
CD^2=(14-2a)^2=4a^2-56a+196
DA^2=(a+2)^2+(14-2a-4)^2=5a^2-36a+104
AB^2=(a+2)^2+4^2=a^2+4a+20

CD^2=DA^2+AB^2 に代入するとa^2+12a-36=0
a>0 に注意して解くとa=6(√2-1)です。

回答No.1

info22_

点Aと点Bを通り、点Cでx軸に接するような△ABCの外接円の内、a>0方の円の時、円周角∠ACBが最大になります。

点Aと点Bを通りX軸上の点Cで交わる場合は△ABCの外接円は
半径が点CでX軸に接する場合より弧AB（短い方）円周に占める割合が小さくなるので円周角∠ACBは小さくなります。

点Cで△ABCの外接円がX軸に接する場合、つまり∠ACBが最大の場合
外接円の半径をr(＞0)とすると外接円の中心Gの座標は(a,r)なので
　AG＝BG＝CG
の関係が成り立っている。
この時の△ABCの外接円を描いて見てください。
（点CでX軸に接していますので半径GC⊥X軸の関係にある）

３平方の定理より
　(a+2)^2+(r-4)^2=(a-3)^2+(r-9)^2=r^2
これからa(>0),r(>0)を求めてやればよい。

　a^2+4a+4+r^2-8r+16=a^2-6a+9+r^2-18r+81=r^2
これから
　4a-8r+20=90-6a-18r, a^2+4a+20=8r
前の式から
　10a+10r=70
　a+r=7
r=7-a＞0 …（◆）より 0<a<7　…(☆)
後の式に代入
　a^2+4a+20=56-8a
　a^2+12a-36=0
　(a+6)^2=72
(☆)の条件より
　a+6=√72 ∴a=√72 -6=6√2 -6　
（◆）の式から　r=7-a=13-6√2(>0)
と求まります。

(注）
高校レベルなら余弦定理と微分を使って解けます。