漸化式

質問

2つの箱ＡとＢがあり、最初Ａには赤玉1個と白玉3個、Ｂには白玉のみ3個入っている Ａから玉を1個だけ取り出してＢに入れ、よく混ぜた後、Ｂから玉を1個だけ取り出してＡに戻す これを1回の操作として、操作をn回繰り返した後、赤玉がＡに入っている確率をＰ(n)とする Ｐ(n+1)をＰ(n)で表せ

n＝1は最初に赤玉をとりＢから赤玉をとる1/4×1/4と最初に赤玉を取らない3/4を足して13/16 というのはわかりますが漸化式の作り方が分かりません 教えてください

回答No.5

yyssaa · ベストアンサー

Ｐ(n)は13/16で1-Ｐ(n)は3/16ですね
これらでどう作るんですか？

＞Ｐ(n)は13/16で1-Ｐ(n)は3/16ではありません。
これらはn=１の確率ですからＰ(１)＝13/16で
1-Ｐ(１)＝3/16です。
まだＰ(n)は分かっていません。
n回繰り返した後に赤玉がＡに入っている確率をＰ(n)
と仮定しただけです。
n回繰り返した後に赤玉がＡに入っていると、これは
最初の状態と同じですから次の１回の操作、すなわち
ｎ＋１回目の操作の後に赤玉がＡに入っている確率は
Ｐ(１)と同じ。従ってｎ回の操作の後にＰ(n)の事象が
生じた場合(赤玉がＡに入っている場合)に(n＋１)回目
の後に赤玉がＡに入っている確率はＰ(n)×Ｐ(１)に
なります。
次に、ｎ回の操作の後に１－Ｐ(n)の事象が生じた場合、
すなわち赤玉がＡに入っていないと、次の１回の操作、
すなわちｎ＋１回目の操作の後に赤玉がＡに入っている
確率は、Ａに白玉４個、Bに赤玉１個白玉２個がそれぞれ
入っている場合に１回の操作の後に赤玉がＡに入って
いる確率になります。これをQ(1)とすると、1-P(n)が
生じてからのQ(1)ですから{1-P(n)}×Q(1)になり、
先程のP(n)×Ｐ(１)と足し合わせたものがP(n＋１)に
なります。

お礼

すみません Ｐ(1)のつもりだったのですが間違いでしたね
Ｐ(1)＝13/16だからＰ(n)×13/16でＱ(1)はＡから白玉をＢに入れたあと4個の玉から赤玉をとる1/4だから{1-P(n)}×1/4で足しあわせると
Ｐ(n)×13/16+{1-P(n)}×1/4＝13Ｐ(n)/16+1/4-Ｐ(n)/4＝9Ｐ(n)/16-1/4になりますね
ありがとうございました

回答No.4

naniwacchi

こんばんわ。

具体例（n＝1, 2, 3）を考えていくことは、いい着眼点だと思いますが、
そのあと出てきた数字だけにとらわれすぎているように感じます。
大事なことは、その「過程（遷移のようす）」です。

たとえば n-1回目（n回目操作前）の時点で、
・赤玉が箱Aにある確率が P(n)であれば、
・赤玉が箱Bにある確率は 1- P(n)と表すことができます。

このあと、箱A→箱B、箱B→箱Aという玉の移動作業をおこないます。
それぞれ何色の玉が移動すれば、
n回目操作後（n+1回目操作前）に「赤玉が箱Aにある」かを考えます。

できれば、この様子を「図」にしてみるのが一番です。
問題の状況を理解するためにも図は描いておく方がいいですよね。

回答No.3

yyssaa

n回繰り返した後に赤玉がＡに入っている確率をＰ(n)
とすると、n回繰り返した後に赤玉がＡに入っていない
確率は１－Ｐ(n)です。
n＝1を正解しているので、赤玉がＡに入っていない
ときに１回の操作で赤玉がＡに入る確率も正解
出来ると思います。
そうすれば、それらの確率とＰ(n)と１－Ｐ(n)を
組み合わせてＰ(n＋１)を作れると思います。

補足

Ｐ(n)は13/16で1-Ｐ(n)は3/16ですね
これらでどう作るんですか？

回答No.2

asuncion

＞書いてみましたが見えませんでした

10分かそこら考えただけで、あきらめてしまうんでしょうか。

補足

考えても分からなかったら教えてください

回答No.1

asuncion

P(2)やP(3)がどうなるかを、樹形図か何かを書いて求めてみてはどうでしょうか。
P(3)あたりまで来ると、何かの法則性が見えてくるかもしれません。

お礼

書いてみましたが見えませんでした
回答ありがとうございました