数学B 確率漸化式

質問

袋Aには、3個の白玉、袋Bには、2個の白玉と1個の赤玉が入っているとする。
Aの袋から玉を１個取り出してBに入れて、次にBの袋から玉を１個取り出してAに入れる。これを一回の操作としたとき、この操作をn回繰り返した後、赤玉がAの袋に入っている確率Pｎを求めよ。

という問題です。

最初にAから球を一個取り出すときは確率に作用されないので、Bに白３つ、赤１つという風な状況から一個取り出す確率をP1=1/4と解釈してよいのでしょうか。
また、
Pn+1とPnの関係がよくわかりません。
教えてください！

回答No.1

R_Earl · ベストアンサー

> 最初にAから球を一個取り出すときは確率に作用されないので、Bに白３つ、赤１つという風な状況から一個取り出す確率をP1=1/4と解釈してよいのでしょうか。

それでいいと思います。

> Pn+1とPnの関係がよくわかりません。

何回目の操作でも、
「Aの袋の中にある3個の球から1つ取り出してBに入れて」、
「Bの袋の中にある4個の球から1つ取り出してAに入れる」
ということは変わりません。
また、
「Aの袋に赤玉がある場合、Aの袋から赤玉を取り出す確率は1/3」ということと
「Bの袋に赤玉がある場合、Bの袋から赤玉を取り出す確率は1/4」ということも
変わりませんよね。
この「変わらないもの」を把握しておいて下さい。

本題に入ります。
n回目の操作後の状況として考えられるのは次の2つの場合です。

[1] n回目の操作後、Aの袋に赤球がある。
[2] n回目の操作後、Bの袋に赤球がある。

この2つに場合分けし、「n+1回目の操作後にAの袋に赤玉が入る確率」を計算します。

[1] n回目の操作後、Aの袋に赤球がある。
(1) 最初にAの袋から白玉を取り出した場合
n+1回目の操作終了後、Aの袋に赤玉がある。
この確率は2/3
(2) 最初にAの袋から赤玉を取り出した場合
Bの袋から赤玉を取り出したら、n+1回目の操作終了後、Aの袋に赤玉がある。
この確率は(1/3) × (1/4) = 1/12
(1)、(2)より、求める確率は2/3 + 1/12 = 3/4

[2] n回目の操作後、Bの袋に赤球がある。
省略します。
この[2]で求まる確率をqとおきます。

[1]の場合が起こる確率はPnで、[2]の場合が起こる確率は(1 - Pn)です。
よって「n+1回目の操作後にAの袋に赤玉が入る確率Pn+1」は次のようになります。

Pn+1 = (3/4)Pn + q(1 - Pn)

あとはこれを展開して同類項をまとめて整理すれば、
見慣れた数列の漸化式になります。

お礼

詳しくありがとうございます。

引っかかっていたところが解消されました。

回答No.2

owata-www

＞最初にAから球を一個取り出すときは確率に作用されないので、Bに白３つ、赤１つという風な状況から一個取り出す確率をP1=1/4と解釈してよいのでしょうか。

ＯＫです

＞Pn+1とPnの関係がよくわかりません。
まず
袋Ａに赤玉が入っているとき（確率Ｐn）は
袋Ａ：白２赤１
袋Ｂ：白３
になっています。

この状態から１回操作を行い赤玉がＡの袋に入っている状態にするには

袋Ａから赤玉を取り出さない→2/3
or
袋Ａから赤玉を取り出し、袋Ｂから赤玉を取り出す→1/3*1/4

になります。

赤玉が袋Ｂに入っているとき（確率1-Pn）
この状態から１回操作を行い赤玉がＡの袋に入っている状態にするには

P1の考え方と同じく1/4

です。これで漸化式を立てられます

お礼

ありがとうございます！！！！