数Ａ

質問

赤玉3個と白玉4個と青玉5個が入った袋から、1個だけ玉を取り出して、色を調べてからもとに戻すことを4回続ける。この時、次の確立を求めよ。
Ｑ、4回目に初めて白玉が出る確率

Ｑ、つぼのなかに赤玉が3個、白玉が2個入っている。この中から1個の玉を取り出し、色を見てもとへ戻し、さらに同じ色の玉を1個加える。続いて1個の玉を取り出し、色を見てその玉および1個の同じ色の玉をつぼの中に加える。3回目にまた1個の玉を取り出す。この時、ｋ回目に赤玉が出るという事象をＡｋとする（ｋ=1,2,3)。この時、確率Ｐ（Ａ1∩Ａ2∩Ａ3)、Ｐ(Ａ3)、条件付き確率PＡ3(Ａ2)をそれぞれ求めよ。

9個の白玉と1個の赤玉の入った袋Ａと、8個の白玉と2個の赤玉の入った袋Ｂがある。コインを振って表が出たらＡの袋から玉を1個取り出し、裏が出たらＢの袋から玉を1個取り出す。取り出した玉はもとに戻さず、続けて同じようにして玉を取り出す。こうして、2個の玉を取り出すとき、次の確立を求めよ。
Ｑ、1回目に赤玉が出たという条件のもとで、1回目のコインが裏であった確率

Ｑ、nが3以上の奇数であるとき、n3乗-nは24で割り切れることを証明せよ。

分からなかったのでどなたか教えてください。

回答No.1

ferien · ベストアンサー

＞赤玉3個と白玉4個と青玉5個が入った袋から、1個だけ玉を取り出して、
＞色を調べてからもとに戻すことを4回続ける。
＞この時、次の確立を求めよ。
＞Ｑ、4回目に初めて白玉が出る確率
3回目まで赤と青しか出ないから、(8/12)^3・(4/12)＝2^3/3^4＝8/81

＞Ｑ、つぼのなかに赤玉が3個、白玉が2個入っている。
＞この中から1個の玉を取り出し、色を見てもとへ戻し、さらに同じ色の玉を1個加える。
＞続いて1個の玉を取り出し、色を見てその玉および1個の同じ色の玉をつぼの中に加える。
＞3回目にまた1個の玉を取り出す。
＞この時、ｋ回目に赤玉が出るという事象をＡｋとする（ｋ=1,2,3)。
＞この時、確率Ｐ（Ａ1∩Ａ2∩Ａ3)、Ｐ(Ａ3)、条件付き確率PＡ3(Ａ2)をそれぞれ求めよ。
(1)
Ｐ（Ａ1∩Ａ2∩Ａ3)は、　1回目も2回目も3回目も赤玉が出るとき、
1回目赤3個白2個だから、3/5
2回目赤4個白2個だから、4/6
3回目赤5個白2個だから、5/7
よって、Ｐ（Ａ1∩Ａ2∩Ａ3)＝(3/5)・(4/6)・(5/7)＝2/7

(2)
1回目赤　赤3白2だから、(3/5)
2回目白　赤4白2だから、(2/6)
3回目赤　赤4白3だから、(4/7)　よって、(3/5)・(2/6)・(4/7)＝4/35

1回目白　赤3白2だから、(2/5)
2回目赤　赤3白3だから、(3/6)
3回目赤　赤4白3だから、(4/7)　よって、(2/5)・(3/6)・(4/7)＝4/35

1回目白　赤3白2だから、(2/5)
2回目白　赤3白3だから、(3/6)
3回目赤　赤3白4だから、(3/7)　よって、(2/5)・(3/6)・(3/7)＝3/35
よって、(1)の場合も含めて、
Ｐ(Ａ3)＝(2/7)＋(4/35)＋(4/35)＋(3/35)＝21/35＝3/5

(3)　条件付き確率PＡ3(Ａ2)　
3回目に赤玉が出たとして、2回目に赤玉が出たときの確率だから、(1)(2)から、
よって、PＡ3(Ａ2)＝|(2/7)＋(4/35)}/(3/5)＝(2/5)/(3/5)＝2/3

＞9個の白玉と1個の赤玉の入った袋Ａと、8個の白玉と2個の赤玉の入った袋Ｂがある。
＞コインを振って表が出たらＡの袋から玉を1個取り出し、裏が出たらＢの袋から玉を1個取り出す。
＞取り出した玉はもとに戻さず、続けて同じようにして玉を取り出す。
＞こうして、2個の玉を取り出すとき、次の確立を求めよ。
＞Ｑ、1回目に赤玉が出たという条件のもとで、1回目のコインが裏であった確率
1回目赤玉であるのは、
コイン表が出て、Aから赤玉をとりだすとき、(1/2)・(1/10)＝1/20
コイン裏が出て、Bから赤玉を取り出すとき、(1/2)・(2/10)＝1/10
よって、求める確率は、(1/10)/{(1/20)＋(1/10)}＝2/3

＞Ｑ、nが3以上の奇数であるとき、n3乗-nは24で割り切れることを証明せよ。
nが3以上の奇数であるから、
n＝2m－1（m≧2の自然数）とすると、
n^3－n
＝(2m－1)^3－(2m－1)
＝(2m－1){(2m－1)^2－1}
＝(2m－1)(4m^2－4m＋1－1)
＝(2m－1)(4m^2－4m)
＝4m(m－1)(2m－1)

m＝2のとき、4m(m－1)(2m－1)＝4・2・1・3＝24　より、24で割り切れる。
m＝k（k≧2）のとき、4k(k－1)(2k－1)＝24s（s≧2の整数）と仮定すると、
m＝k＋1のとき、
4(k＋1)k{2(k＋1)－1}
＝4k{(k－1)＋2}{(2k－1)＋2}
＝4k(k－1)(2k－1)＋4k・2(k－1＋2k－1)＋4k・4
＝24s＋8k(3k－2)＋16k
＝24s＋24k^2－16k＋16k
＝24(s＋k^2)　より、24で割り切れる。
よって、m≧2のすべての自然数について成り立つ。
以上より、
nが3以上の奇数であるとき、n3乗-nは24で割り切れる。

確認してみてください。

お礼

ありがとうございます