確率と漸化式

質問

今、10日あればいいという問題集の数学B分野をやっています。
しかし、解説を読んでもどうしても理解できない、というか、この解説は違うんじゃないかという思いさえ、出てきています。

自分ひとりでは自信がないので、一緒にお考え頂きたいです。

問題
A,B２つの袋があり、Aには赤玉一個と白玉三個、Bには白玉のみ3個。
Aから一個玉を無作為に取り出し、Bに入れよくかき混ぜ、Bから一個玉を無作為に取り出して、Aに戻すという作業を一回の作業として、これをｎ回繰り返した時、Aの中に赤玉が入っているという確率をPnとする。

(1)Pn1は？
(2)Pn＋1をPnで表すと？

というような感じです
解説は
(1)　
ⅰ：Aから赤玉、Bから赤玉を取り出すとき
4分の1×4分の1で16分の1
ⅱ：Aから白玉、Bからは必然的にしろ玉が取り出されるとき　4分の3

よってⅰ、ⅱは排反なので、16分の13

（２）
PnはAに赤玉が入っている確率
1-PnはBに赤玉が入っている確率

n回の作業の後、次のPn＋1の確率は
(1)より Pn×16分の13
1－Pnのとき、AからBに白玉が1個来て、4個から赤玉を取り出すから
（1－Pn）×4分の１
と書いてあります。
私がひっかかるのは、なんで↑が4分の1なのか
（1）が16分の13なら、それ以外の確率は16分の３で
（1－Pn）×16分の3ではないかと言うことです。

長々としてますが、お願いします。

回答No.3

yhposolihp

とりあえず、といてから
ＡにはＷＷＷＲ、、、ＢにはＷＷＷ

Ｒの移動は
　　Ａのまま　　　　　　　(3/4)=(12/16)
　　ＢからＡに戻る(1/4)(1/4)=(1/16)
　　　　　　Ｂに残る(1/4)(3/4)=(3/16)
P(1)=(12/16)+(1/16)=(13/16)
n+1回目にＡにの存在確率は
　n回目のＡにの存在確率＊(13/16)と
　n回目のＢにの存在確率＊(1/4)との和となる。
P(n+1)=(13/16)P(n)+(4/16){1-P(n)}
漸化式は　P(n+1)=(9/16)P(n)+(4/16)
(16/16)x=(9/16)x+(4/16)
特性解は、(7/16)x=(4/16)、x=(4/7)
P(n+1)-(4/7)=(9/16){P(n)-(4/7)}
{P(n)-(4/7)}={(9/16)^(n-1)}{(13/16)-(4/7)}
よって　P(n)=(27/112){(9/16)^(n-1)}+(4/7)

＞＞なんで↑が4分の1なのか。
（1）が16分の13なら、それ以外の確率は16分の３で
（1－Pn）×16分の3ではないかと言うことです。

16分の13　というのは、１回目のＢにの存在確率です。
　　（1－Pn）が、n回目のＢにの存在確率です。
　　　　これに、Ａに戻る確率（１／４）を掛けるのです。

お礼

詳しくありがとうございました！

回答No.2

noname#47975

事象の捉え違いだと思います。

(1)Ａの袋にある赤玉が作業終了後にＡの袋にある事象
(2)Ａの袋にある赤玉が作業終了後にＡの袋にない（Ｂの袋にある）事象
(3)Ｂの袋にある赤玉が作業終了後に袋の箱にある事象

(1)の事象の確率が１３/１６になります。
そして、(1)の余事象は(3)ではなく(2)にあたります。
つまり、(2)の事象の確率が３/１６になるのです。
質問者さんの場合は、(3)が(1)の余事象であると誤認されているようです。
なお、解説では、(3)の事象の確率が１/４であると述べています。

お礼

捉え違いでしたか・・
ありがとうございました！

回答No.1

fukuda-h

ｎ回の操作後の状態は
[1]Aには赤玉一個と白玉三個、Bには白玉のみ3個
または
[2]Aには白玉のみ４個、Bには赤玉一個と白玉２個
となっています。
疑問の3/16は[1]の状態から１回の操作でAに白玉だけになる確率ですからこの場合適しません。Pn＋1を考えるときは操作後にAに赤玉が入っていなくてはいけません。したがって1－Pnを考えると[2]の状態ですからAから白玉が１個来てBは４個になっているので赤玉を取り出す確率は1/4です。

お礼

ありがとうございました！
理解できました。