漸化式 確率

質問

n本のロープがあり、2つ折りにしてロープの端が揃えてある
ロープの端をでたらめに2つずつ選んで結んでいき、1度選んだ端を2度選ばずにn個の結び目を作る
n本のロープが全てつながって1つの輪ができる確率をＰ(n)とする
Ｐ(n+1)/Ｐ(n)を求めよ

始めから分からないので教えてください 補足質問もするかもしれません

回答No.3

yyssaa · ベストアンサー

2n本あるロープの端から2つ選んで1個目の結び目を作る
ときに、同じロープの端を結んでしまう確率=1/(2n-1)。
従って2本のロープがつながり、つながっていないロープ
の本数が1本減って(n-1)本、ロープの端の数が2(n-1)本
となる確率は1-1/(2n-1)=2(n-1)/(2n-1)。・・・(ア)
同様に2個目の結び目を作るときに、つながっていない
ロープの本数が1本減って(n-2)本、ロープの端の数が
2(n-2)本となる確率は、(ア)のnを(n-1)に置き換えて
2{(n-1)-1}/{2(n-1)-1}=2(n-2)/(2n-3)。
同様に3個目の結び目を作るときに、つながっていない
ロープの本数が1本減って(n-3)本、ロープの端の数が
2(n-3)本となる確率は、(ア)のnを(n-2)に置き換えて
2{(n-2)-1}/{2(n-2)-1}=2(n-3)/(2n-5)。
以下同様に、(n-1)個目の結び目を作ったときに残る
ロープの本数が1本減ってn-(n-1)=1本となる確率は
(ア)のnを2として2/3。
よってP(n)=(2/3)*(4/5)*(6/7)*・・・・*{2(n-1)/(2n-1)}
P(n+1)=(2/3)*(4/5)*(6/7)*・・・・*{2(n-1)/(2n-1)}*{2n/(2n+1)}
求めるP(n+1)/P(n)=2n/(2n+1)となります。

お礼

回答ありがとうございました

回答No.6

asuncion

＞これらのように用いる場合は漢数字を使います。

絶対に漢数字を使わねばならない理由はありません。
意味がわかればどちらでもよし。

回答No.5

haru-89

http://kjcpa2011.blog81.fc2.com/blog-entry-21.html

こちらに画像をUPしたのでご覧ください
手書きなので見にくいかもしれません。

参考URL：

http://kjcpa2011.blog81.fc2.com/blog-entry-21.html

お礼

携帯電話のせいか画質が悪くよく見えません
わざわざありがとうございました

回答No.4

haru-89

紙に書いたのでうまく見えるかわかりません

この投稿のマルチメディアは削除されているためご覧いただけません。

お礼

携帯電話のせいか画像がないように見えます すみません
わざわざありがとうございました

回答No.2

9101011120

n＝1のとき　明らかに選び方1通りで輪ができる。ゆえに　P(1)＝1
n＝2のとき　4つあるうちの1つの端に注目してみると、その端と
　　　　　　　　結ぶことで輪ができる端は残り3つのうち2つ。初めの
　　　　　　　　注目した端とそのうちの1つを結ぶと、残り2つは自動
　　　　　　　　的に決まってしまう。これは1通りのうち1通りで１つの
　　　　　　　　輪ができることに等しから、 P(2)＝2/3×1/1＝2/3
n＝3のとき　端は6つあり、n＝2と同様の操作をしてみると、
　　　　　　　　ある一端について1つ結び目をつくるとき、１つの輪と
　　　　　　　　なる可能性(確率)は、4/5　(残り5端のうち4端を選ぶ)
　　　　　　　　である。上のとき、結び目をつくった端を含む(最初の、
　　　　　　　　注目したものでないほうの)ロープのもう1つの端について、
　　　　　　　　上と全く同じ操作をしてみると、その端と結ぶことで
　　　　　　　　1つの輪となりうるのは、残り3端のうち、2端である。
　　　　　　　　(すでにむすばれている2つのロープは、1本とみなすと
　　　　　　　　両端で結んではいけないことがわかる。)
　　　　　　　　ゆえに、P(3)＝4/5×2/3×1
ここで推測として、P(n＋1)＝{2n/(2n＋1)}P(n)　であると考えられる。

n本のロープのとき、1つの輪ができる確率をP(n)とすると、
n＋1本のとき、(i)端は2(n＋1)個あり、n＝3と同様の操作をしてみると、
　　　　　　　　　ある一端について1つ結び目をつくるとき、１つの輪と
　　　　　　　　　なる確率は、2n/(2n＋1) である。
(ii)上のとき、結び目をつくった端を含む(最初の、
　　　　　　　　　注目したものでないほうの)ロープのもう1つの端について、
　　　　　　　　　上と全く同じ操作をしてみると、その端と結ぶことで
　　　　　　　　　1つの輪となりうるのは、残り2n－1個の端のうち、
　　　　　　　　　2n－2個の端である。(ii)よりさきは、P(n)を求めるときと
　　　　　　　　　全く同じ操作であるから、
　　　　　　P(n＋1)＝{2n/(2n＋1)}P(n)

よって、　P(n＋1)/P(n)＝2n/(2n＋1)

補足

(ii)の上のとき、結び目をつくった端を含む…の上のときと上と全く同じ操作をしてみると、その端と結ぶことで…の上ととは何を指してるんですか？

回答No.1

noname#157574

2つ折り→二つ折り，2つずつ→二つずつ，1度選んだ端を2度選ばずに→一度選んだ端を二度選ばずに，1つの輪→一つの輪
これらのように用いる場合は漢数字を使います。

お礼

問題には算用数字で書いてあったのでそのまま書いてしまいました 以後気を付けます