簡単な確率の質問です

質問

【質問１】
ｎ個の玉から無作為に一つを選び出す行為をｎ回行うという試行の結果、
それぞれの玉が選ばれる確率はいずれも１になると思うのですが、これはどうしてですか？

一回の行為で、それぞれの玉が選ばれる確率は１／ｎ
それをｎ回繰り返すから（１／ｎ）・ｎ＝１
これで良いのですか？

【質問２】
質問１と同じ試行の結果、
いずれかの玉がｐ回（０≦ｐ≦ｎ）選ばれる確率はいくつになりますか？

特定の一つの玉について、
その玉が０回選ばれる確率は（（ｎ－１）／ｎ）・（ｎ－０）＋（１／ｎ）・０
その玉が１回選ばれる確率は（（ｎ－１）／ｎ）・（ｎ－１）＋（１／ｎ）・１
その玉が２回選ばれる確率は（（ｎ－１）／ｎ）・（ｎ－２）＋（１／ｎ）・２
　　　　・・・
その玉がｐ回選ばれる確率は（（ｎ－１）／ｎ）・（ｎ－ｐ）＋（１／ｎ）・ｐ

これがｎ個の玉いずれにも成り立つので、答えは
（（（ｎ－１）／ｎ）・（ｎ－ｐ）＋（１／ｎ）・ｐ）・ｎ
これで合ってるでしょうか？
表計算ソフトで数字を入れるとどうも間違ってる気がするのですが。
根本的に間違っているかも知れません、助言お願いします。

回答No.1

yyssaa · ベストアンサー

【質問１】
ｎ個の玉から無作為に一つを選び出す行為をｎ回行うという試行の結果、
それぞれの玉が選ばれる確率はいずれも１になると思うのですが、これはどうしてですか？
＞そうはなりません。
n個の玉に1番からn番までの番号をふり、一つを選び出す行為
を1回行う度に番号を記録してn回でn個の番号の並びを作ると、
その並びはn^n通りになります。
そして、その中に特定の番号、例えばk番が一つも入らない
並びは(n-1)^n通りになります。
従って、k番の玉が少なくとも1回選ばれる確率は
1-(n-1)^n/n^n=1-(1-1/n)^nになります。
【質問２】
質問１と同じ試行の結果、
いずれかの玉がｐ回（０≦ｐ≦ｎ）選ばれる確率はいくつになりますか？
＞この問題はpによる場合分けが必要であり、一つの式には
ならないと思います。

お礼

質問１から大間違いしてしまいました。
私の問題文の日本語もなんか変だし。

重大な間違いに気づくことが出来て感謝しています。
どうもありがとうございます。

回答No.3

alice_44

あまりに簡単な質問なのですが、大丈夫でしょうか？
問題に写し間違いはありませんか？

質問１の確率が 1 になる理由は、
非復元抽出(出した玉は戻さずに次の玉を選ぶ)なら、
n 回目には n 個の玉が全て取り出されるからです。
全ての玉が、確率 1 で選ばれます。
復元抽出(出した玉を戻してから次の玉を選ぶ)だと、
確率は 1 にはなりません。

質問２は、質問１と同じ試行であれば、
p≠1 については、どれも確率 0 です。
全ての玉が、確率 1 で 1 回づつ選ばれます。

お礼

今回の質問は復元抽出です。（この用語初めて知りました）

ええ確かに簡単過ぎる質問ですよね。でもこの質問にたどり着くまでにさんざん考えた結果だったのです。
まあその結果いきなり掛け算とべき乗を間違ってしまい、まったく気づかなかったわけですが。

非復元抽出なら仰る通りですね。私の質問文もおかしかったです。出直してきます。
どうもありがとうございました。

回答No.2

MagicianKuma

質問2は簡単ではありません。
まず、以下をおさえておきましょう。各玉の1回毎に選ばれる確率は等しいと仮定しても良い。なので、1回当たりある玉が選ばれる確率は1/n。また何回か選ぶときそれらのに事象は独立と考えてよい。
以上の仮定の上で、ある特定の玉がp回選ばれる確率は、nCp・(1/n)^p・(1-1/n)^(n-p)で与えられます。
じゃぁ、特定の玉という条件をはずすと、玉はn個あるので、n倍すればよいかというと。それは間違いです。ある特定の玉Aがp回選ばれるという事象と別の玉Bがp回選ばれるという事象が背反なら、確率を足し算できますが、pによっては同時に起き得ます。
例えばn=10,p=3だとすると、10回選んだとき、玉Aが3回、玉Bも3回も起き得ます。n=10,p=7だとすると、特定の玉Aを7回選んだとき、その他の玉も7回選ばれることはないので、この場合は10C7(1/10)^7・(9/10)^3を10倍してOKです。
No1さんが言われていることも同様な趣旨だと思います。結論として、n,pを使った一般式はあるのかどうか分かりませんが、あったとしてもすごく複雑な気がします。具体的なn,pが与えられれば解くことは可能です。

お礼

自分にとって当初の問題が難しかったので、一所懸命考えて簡略化したものが今回の質問でしたが、基礎の基礎の理解が足りていませんでした。
質問２がこんなに複雑な答えになるとは思いませんでした。自分には分不相応な質問でした。
もういちど考えなおしてみます。難しすぎるので。
丁寧に回答下さりありがとうございました。