論理

質問

先日も質問したのですが、もう一度、全文で質問したいと思います。
http://okweb.jp/kotaeru.php3?q=1589062
問題
２次方程式x^2＋px＋q＝0の１つの解が他の解の平方となるためには
q＋p^2＝－q^3＋3pq　であることが必要十分条件であるとこを証明せよ。

解説
この問題において、1つの解が他の解の平方という条件をPとして、Pを解と係数の関係を用いないで言い換える、まず、Pは「1つの解をαとするとα^2も解である」を意味すると考え、
P⇔「α^2＋pα＋q＝0ならばα^4＋pα^2＋q＝0」
⇔『α^4＋pα^2＋qがα^2＋pα＋q＝0で割り切れる』
とするのは間違いです.というのは,この『　』はα^2＋pα＋q＝0
をみたすαが2つある場合,どちらのαもα^4＋pα^2＋q＝0,ということを意味し,
それは2解をα,βとすれば「α＝β^2かつβ＝α^2」を意味するから。

質問
全体的にどういうことをいってるのでしょうか？
割り切れるとはどういうことでしょうか？

回答No.4

shkwta · ベストアンサー

明確に整理すると、次のようになります。
（混乱を避けるため、問題文中の式のαをxに置き換えました）

[1] x^2 + px + q＝0 の2つの解をα,βとします。
[2] 命題A1～A3、B1～B4、C1～C5を次のように定義します。
　A1: q + q^2＝-q^3 + 3pq
　A2: x^4 + px^2 + q は、x^2 + px + q で割り切れる。
　A3: 任意のxについて「 x^2 + px + q＝0 ⇒ x^4 + px^2 + q＝0 」

　B1: α＝α^2
　B2: β＝α^2
　B3: α＝β^2
　B4: β＝β^2

　C1: ２次方程式x^2＋px＋q＝0の１つの解が他の解の平方となる。
　C2: ２次方程式の1つの解をαとするとα^2も解である。
　C3: 「α＝β^2かつβ＝α^2」
　C4: α^4 + pα^2 + q＝0
　C5: β^4 + pβ^2 + q＝0

[3]A1～A3、B1～B4、C1～C5の関係を調べます。結論を言うと、次のようになります（証明は末尾）。
　C1⇔「B2 または B3」⇔A1
　C2⇔『「B1 または B2」かつ「B3 または B4」』⇔A3⇔A2
　C3⇔「B2 かつ B3」
　C4⇔「B1 または B2」
　C5⇔「B3 または B4」

[4]ご質問の文を、上の記号を使って書くと次のようになります。
　問題
　C1⇔A1を証明せよ。

　解説
　この問題において、C1をPとして、PがC2を意味すると考え、P⇔A3⇔A2 とするのはまちがいです。というのは、A2は「C4 かつ C5」ということを意味し、それはC3を意味するから。

[5]この解説文の前半の意味は、「証明するべきなのはC1⇔A1であるから、まちがえてC2⇔A1を証明しようとするな」ということです。PがC2であれば、P⇔A3⇔A2は正しいです。しかし、PはC1なのだから、最初の「PがC2だと思った」ところがまちがいだというわけです。

解説文の後半で、『A2は「C4 かつ C5」ということを意味し』は[3]を見ると正しいです。しかし、『それはC3を意味するから』はまちがいです。C2とC3は異なります。C2がC3を意味する、としたのは参考書の誤りです。

No.3の補足の(2)は、PをC2だと（誤って）思った場合、C2⇔A3⇔A2は全方向正しいです。

Pは本来C1です。その場合は C1→A3もC1←A3も成立しません。(前回の質問のNo.2で←が成立としたのは誤りでした）。
---------------------------------------
[3]の最初の２つの命題の証明

《C1⇔「B2 または B3」》
C1で、１つの解がαの場合がB2, １つの解がβの場合がB3。

《「B2 または B3」⇔A1》
→：B2のとき、解と係数の関係から p＝-α-α^2, q＝α^3。B3のとき、p＝-β-β^3, q＝β^3。どちらの場合も代入すればA1が成立。
←：A1にp＝-α-β,q＝αβを代入して移項し、因数分解すれば (α-β^2)(β-α^2)＝0 なので B2またはB3。

《C2⇔『「B1 または B2」かつ「B3 または B4」』》
C2の文の中のαは、αでもβでもいい（文の意味は変わらない）。C2は、「α^2は解である。かつ、β^2は解である」を意味する。「α^2は解である」は「B1 または B2」を意味し、「β^2は解である」は「B3 または B4」を意味する。

《『「B1 または B2」かつ「B3 または B4」』⇔A3》
→：x^2 + px + q ⇒ 「x＝α または x＝β」⇒ 「x^2＝α または x^2＝β」⇒ x^4 + px^2 + q＝0
←：A3⇒「C4 かつ C5」⇒『「B1 または B2」かつ「B3 または B4」』

《A3⇔A2》
→：x^2 + px + qを因数分解すると(x-α)(x-β)。αとβは、x^4 + px^2 + q＝0の解でもあるから、x^4 + px^2 + q＝(x-α)(x-β)(x^2 + rx + s)と因数分解できる。
←：x^4 + px^2 + q＝(x^2 + px + q)(x^2 + rx + s)と因数分解したとき、x^2 + px + q⇒x^4 + px^2 + q＝0

お礼

さらに補足です。
＞←：A3⇒「C4 かつ C5」⇒『「B1 または B2」かつ「B3 または B4」』
最初の変形,最後の変形ともにわかりません。
よろしくお願いします。

補足

返信ありがとうございました。
本当に丁寧にありがとうございます。。。
返信遅れてすいません、この３(４？)日間ものすごく考えました。
殆ど完璧な説明で、とても助かりました。
しかし、どうしても腑に落ちないところがあります。
２次方程式の1つの解をαとするとα^2も解である。
これ自体が意味がわかりません。。
説明していただいたように「α^2は解である。かつ、β^2は解である」を意味するのかもしれませんが、どうしてもそのように考えるかわかりません。。。
どうしても、αが一つの解だとしたら,β＝α^2としか考えられません・・・・
(x－α)(x－α^2)＝0 ・・・・・

回答No.5

shkwta

No.2の補足について：
＞説明していただいたように「α^2は解である。かつ、β^2は解である」を意味するのかもしれませんが、どうしてもそのように考えるかわかりません。。。

実は、これは数学の理論では決められません（文脈による解釈、つまり国語の問題です）。

C2: ２次方程式の1つの解をαとするとα^2も解である。

これは、
D1:「２次方程式の２つの解のうちの１つは、２乗すると、それも解になる」
D2:「２次方程式の２つの解は、どちらも２乗すると、それも解になる」
のどちらでしょうか？

まず、次のことは容易に確認できます。
D1⇔「B1 または B2 または B3 または B4」
D2⇔『「B1 または B2」かつ「B3 または B4」』
また、どちらもC1（⇔「B2 または B3」)とは異なります。

次の関係があります。

D2⇒D1
C1⇒D1

D2とC1の間は、D2⇒C1でもC1⇒D2でもありません。

また、D2はA2,A3と同値です。
D2⇔A3⇔A2

ここで、「解説」の文を見ましょう。
-----------------
解説
この問題において、C1をPとして、PがC2を意味すると考え、P⇔A3⇔A2 とするのはまちがいです。というのは、A2は「C4 かつ C5」ということを意味し、それはC3を意味するから。

※最後の「それはC3を意味するから」は著者自身の誤りと思われます。

-----------------
もし、C2がD1を意味しているなら、解説は次の意味です。

[ア]C1がD1を意味すると考え、D1⇔A3⇔A2 とするのはまちがいです。というのは、A2は「C4 かつ C5」ということを意味し、それはC3を意味するから。

もし、C2がD2を意味しているなら、解説は次の意味です。

[イ]C1がD2を意味すると考え、D2⇔A3⇔A2 とするのはまちがいです。というのは、A2は「C4 かつ C5」ということを意味し、それはC3を意味するから。

[ア]は、２つのまちがいを含みます。C1をD1だと思ったまちがいと、D1⇔A3です。
[イ]は、１つのまちがいを含みます。C1をD2だと思ったまちがいです。D2⇔A3⇔A2の部分はまちがっていません。

著者が指摘したい間違いは、どちらなのでしょうか。もし、[ア]なら、二重の間違いをおかしているのですから、そのことについて何か説明があるはずです。ところが、後半部ではA2のことしか言っていません。そこで、著者がいいたいのは[イ]であると判断できます。
したがって、C2の意味はD2である、と考えました。

著者は、おそらく、こう言いたいのです。

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この問題は、C1⇔A1 を証明せよという問題です。D2⇔A1ではありませんよ！ときどき、C1をD2だと勘違いして、こんな解き方をする人がいるので注意してください。

D2⇔A3⇔A2 だから、x^4 + px^2 + q を x^2 + px + q で割り、出た余りが0になるようにp,qを定める

でも、C1とD2は異なります。なぜなら、C1は「B2またはB3」であり、D2は「C4 かつ C5」だからです。これらは異なります。
======================================

A3⇒「C4 かつ C5」⇒『「B1 または B2」かつ「B3 または B4」』
これの解説をしておきます。

A3:x^2 + px + q＝0 ⇒ x^4 + px^2 + q＝0

x^2 + px + q＝0の解はαとβだから、
「x=α ⇒ x^2 + px + q＝0 ⇒ x^4 + px^2 + q＝0」
「x=β ⇒ x^2 + px + q＝0 ⇒ x^4 + px^2 + q＝0」
の両方が成立します。
したがって、α^4 + pα^2 + q＝0　かつ　β^4 + pβ^2 + q＝0
つまり、「C4 かつ C5」となります。

C4のとき
(α^2)^2 + p(α^2) + q＝0
だから、α^2 は、x^2 + px + q＝0の解です。
したがって、α^2＝α または α^2＝β
すなわち、「B1 または B2」

C5のとき
(β^2)^2 + p(β^2) + q＝0
だから、β^2 は、x^2 + px + q＝0の解です。
したがって、β^2＝α または β^2＝β
すなわち、「B3 または B4」

C4かつC5ですから、『「B1 または B2」かつ「B3 または B4」』となります。

===============================

参考書の誤りと思われる部分「A2はC3を意味する」について、反例を上げておきます。当てはめて確認してください。

A2⇒C3の反例
p=-1, q=0のとき。x^4-x^2は、x^2-xで割り切れるのでA3成立。α=0, β=1だからC3ではない。
p=0,q=-1のとき。x^4-1は、x^2-1で割り切れるのでA3成立。α=1,β=-1だからC3でない。

なお、C3⇒A2は真です。

お礼

返信ありがとうございました。
丁寧にありがとうございます。
もう、これ以上無い説明ですね・・・・
１～２週間にわたり、他愛もないことに付き合ってくれてありがとうございました。
貴方の教えてくださった数々のことを無駄にしないように、精一杯努力して、教えてくださったことを理解しようと思います。
本当にありがとうございました。

回答No.3

noname#14584

「割り切れる」というのはこの場合整式が整除されるということです．xに関する整式Pが整式Qで割り切れるというのは，P=QRを満たすxに関する整式Rが存在するということです．そう言えるのはなぜかというと，一般に，方程式P(x)=0がある解aを持つとき，P(x)は(x-a)で割り切れますよね．（因数定理）
ということは，α^2＋pα＋q＝0の解a,b（a=bかもしれない）が全てα^4＋pα^2＋q＝0の解であるということは，α^4＋pα^2＋qが(α-a)(α-b)で割り切れるということになります．一方，α^2＋pα＋q=(α-a)(α-b)ですから，α^4＋pα^2＋qがα^2＋pα＋qで割り切れるということになります．

解説では，間違えやすい場合について指摘されているわけですが，二次方程式には一般に解が2個ありますよね．（以下，2個ある場合を考えます）
・1つの解をαとするとα^2も解である
・1つの解が他の解の平方となる
この二つが別のことを言っているわけです．
上の場合では，2解a,bそれぞれについて求められている条件（ある解αに対しα^2も解）を満たさなければならないので，
a=b^2かつb=a^2となります．
一方，下の場合では，2解a,bのどちらかについて求められている条件を満たせばよいので，
a=b^2またはb=a^2となります．しかし，この場合はa,bの取り方を特に定めていないのでどちらかにしてしまって構いません．

例えば，解が2,4の時，この解は問題文の条件を満たしていますが，この解説中での誤答例では条件を満たさないことになってしまいます．（確かめてみてください）

お礼

よろしくお願いします。

補足

質問
(1)
・1つの解をαとするとα^2も解である
・1つの解が他の解の平方となる
の状態のときの条件をもっと詳しく教えていただけないでしょうか？
(2)
ずばり、
P⇔「α^2＋pα＋q＝0ならばα^4＋pα^2＋q＝0」
⇔『α^4＋pα^2＋qがα^2＋pα＋q＝0で割り切れる』
この⇔記号を、正しい向きだけにしてください。。
よろしくお願いします。(混乱してきたので・・・・・

回答No.2

shkwta

＞q＋p^2＝－q^3＋3pq　であることが必要十分条件
q＋q^2＝－p^3＋3pq だと思います。

＞『α^4＋pα^2＋qがα^2＋pα＋q＝0で割り切れる』
『α^4＋pα^2＋qがα^2＋pα＋qで割り切れる』だと思います。

＞それは2解をα,βとすれば「α＝β^2かつβ＝α^2」を意味するから。
これが（参考書の）誤りであることは、前回説明しました。
http://okweb.jp/kotaeru.php3?q=1589062

「α^2＋pα＋q＝0ならばα^4＋pα^2＋q＝0」
⇔『α^4＋pα^2＋qがα^2＋pα＋qで割り切れる』

「」内は、α^2＋pα＋q＝0の２つの解はどちらもα^4＋pα^2＋q＝0の解だということです。
α^2＋pα＋q＝0の２つの解をs,tとし、α^4＋pα^2＋q＝0の４つの解をs,t,u,vとすると、

α^2＋pα＋q＝(α-s)(α-t)
α^4＋pα^2＋q＝(α-s)(α-t)(α-u)(α-v)
と因数分解できるから、α^4＋pα^2＋qはα^2＋pα＋qで割り切れます。
細かい証明は前回書きました。

補足

すいません、間違いがありました。
＞説明～～～
部分的には理解できました、ありがとうございました。
全体的に、時間を掛けて考えたいと思います。

回答No.1

proto

2解をα,βとすると
Pは「1つの解をαとするとα^2も解である」を意味することより
P⇔「β＝α^2」
一方
『α^4＋pα^2＋qがα^2＋pα＋q＝0で割り切れる』⇔「α＝β^2かつβ＝α^2」

ここで
「α＝β^2かつβ＝α^2」⇒「β＝α^2」
が真であることは自明だが
「α≠β^2かつβ＝α^2」となる例を挙げることが出来るので
「β＝α^2」⇒「α＝β^2かつβ＝α^2」
は偽

以上より
『α^4＋pα^2＋qがα^2＋pα＋q＝0で割り切れる』⇒P
は真
P⇒『α^4＋pα^2＋qがα^2＋pα＋q＝0で割り切れる』
は偽
つまり
P⇔『α^4＋pα^2＋qがα^2＋pα＋q＝0で割り切れる』
は成り立たない

ここで言いたいことは、上の以上よりから後の部分です

多項式f(x)が多項式g(x)で割り切れるとは
多項式Q(x)を用いて
　　f(x)=g(x)*Q(x)
と書けることです
具体例を挙げると
　x^2-1=(x+1)(x-1)
は x+1 と x-1 で割り切れます
具体的に割り算をしてみて(余り)=0と置くことでも
計算が出来ます

参考URL：

http://phaos.hp.infoseek.co.jp/preparations/division.htm

補足

＞割り切れるとはどういうことでしょうか？
そういうことではないのですが・・・・・
この場合でのってことです。