置換積分について

質問

以下のPDFファイルをご参照ください。

http://www.maru-will.com/pdf/physH2028.pdf

最後の置換積分について、r=x tanθとして計算する過程がわかりませんでした。

具体的な計算過程をお教え下さいませ。

回答No.4

alice_44 · ベストアンサー

r = x tanθ の方もやってみると…
dr/dθ = x/(cosθ)2乗 と
√(xx+rr) = x √(1+(tanθ)2乗)
= x/cosθ より、
∫rdr/√(xx+rr) = ∫x tanθ/cosθ dθ
= x ∫sinθ/(cosθ)2乗 dθ
再度、u = -cosθ で置換し直せば、
= x ∫du/uの2乗 = -x/u+(積分定数)
と積分できる。
-x/u = x/cosθ = x √(1+(tanθ)2乗)
= √(xx+(x tanθ)2乗)
で r の式に戻せば、終わり。

お礼

皆様わかりやすい解答ありがとうございました。おかげ様で置換積分に対する理解が深まりました。

回答No.3

ferien

ｔ＝√（ｘ^2＋ｒ^2）とおいて置換積分できます。
ｘ^2＋ｒ^2＝ｔ^2，　２ｒｄｒ＝２ｔｄｔより、ｒｄｒ＝ｔｄｔ

∫［０～Ｒ］｛ｒ／√（ｘ^2＋ｒ^2）｝ｄｒ
＝∫［ｘ～√（ｘ^2＋Ｒ^2）］（ｔ／ｔ）ｄｔ
＝√（ｘ^2＋Ｒ^2）－ｘ

どうでしょうか？

回答No.2

NemurinekoNya

もっと簡単に
t = x^2 + r^2と置くと
dt/dr = 2r
dt = 2rdr　
rdr = (1/2)dt

∫r/√(x^2+r^2)dr = 1/2∫(1/√t)dt = √t + C =√(x^2+r^2) + C

と計算できます。

回答No.1

alice_44

r = x tanθ でも計算できるが、
r^2 = θ のほうがずっと簡単なはずだ。
物理の人は、変なことが好きだな。