２次不等式の問題

質問

こんにちは。
数学が苦手な文系で、４月から高２になるものです。

春休みの課題をやってやり直しをしているのですが、分からないところがありましたので教えていただきたいと思い、質問しました。

（問題文は、文字入力すると、分かりにくくなるため、画像を添付させていただきました。）

問題文の、ク,ケ,コ,サ,シまでは分かったのですが、ス、セ、タ、チがわかりません（問題文１行目のlogの入っている不等式から、x^2をどうやって導き出せばよいのかわかりません）。

分かりやすく教えていただければ幸いです。
ご回答、よろしくお願いいたします。

回答No.2

ferien · ベストアンサー

問題文の、ク,ケ,コ,サ,シまでは分かったのですが、
＞ス、セ、タ、チがわかりません（問題文１行目のlogの入っている不等式から、
＞x^2をどうやって導き出せばよいのかわかりません）。
log[x]（２ｘ－ｙ＋１）＞２
底がｘのままだとわかりにくいので、ｘ＝ａとおきます。
対数の性質より、
log[a]（２ｘ－ｙ＋１）／log[a]ｘ＞２
log[a]（２ｘ－ｙ＋１）＞２log[a]ｘ
log[a]（２ｘ－ｙ＋１）＞log[a]ｘ^2　……（１）
ａ＞１のとき、対数関数log[a]ｘは増加関数だから、
（１）より、２ｘ－ｙ＋１＞ｘ^2
よって、ｙ＜－ｘ^2＋２ｘ＋１
０＜ａ＜１のとき、log[a]ｘは減少関数だから、
（１）より、２ｘ－ｙ＋１＜ｘ^2
よって、ｙ＞－ｘ^2＋２ｘ＋１
ａをｘに戻すと、
ｘ＞１のとき、ｙ＜－ｘ^2＋２ｘ＋１　……シスセ
０＜ｘ＜１のとき、ｙ＞－ｘ^2＋２ｘ＋１　…ソシタチ

でどうでしょうか？

回答No.1

ryumu

ヒントを。

aを底とした対数表記をlog[a]、またaのb乗をa^bと表記します。
aを1で無い正の実数とすると、一般に

　　a^b = c <=> log[a]c = b

となりますが、もし、b = 1 なら、a = c なのは明らかです。
つまり、

　　　　1 = log[x]x

が、あらゆる正の実数xについて成り立ちます。

すると、問題の不等式は、

log[x](2x-y+1) > 2 <=> log[x](2x-y+1) > 2log[x]x
<=> log[x](2x-y+1) > log[x](x^2)

となります。あとは、ｘの値によって、対数の中身同士（2x-y+1 と x^2）の比較すれば良いことになります。