数学I センター試験問題

質問

数学Iの問題です。解法のご解説をよろしくお願い致します。

問題：△ABCにおいて、AB=5、BC=2√3、CA=4+√3とする。
このとき、cosA=コ/サである。
△ABCの面積は、シス+セ√ソ/2である。

Bを通り、CAに平行な直線と△ABCの外接円との交点のうち、
Bと異なる方をDとするとき、
BD=タ-√チであり、台形ADBCの面積はツテである。

コ～テに入る数字又は符号を答えよ。

回答No.2

debut · ベストアンサー

余弦定理より
cosA=(AB^2+CA^2-BC^2)/(2*AB*CA)
　　　=(25+19+8√3-12)/{10(4+√3)}
　　　={8(4+√3)}/{10(4+√3)}
　　　=4/5
sinA=√(1-cos^2A)=3/5
よって、△ABCの面積=(1/2)*5*(4+√3)*(3/5)=(12+3√3)/2

この台形は等脚台形
＜＜弧BCの円周角なので、∠BAC=∠BDC。
　　また、AC//DBなので、∠BDC=∠ACD。そして、∠BCD=∠BADから
　　∠BCA=∠DAC　＞＞
△ABD≡△CDBだから、CD=5。
△CDBで余弦定理より、
12=BD^2+25-2*BD*5*(4/5)　＜＜cos(∠BDC)=cos(∠BAC)なので＞＞
BD^2-8BD+13=0を解いて、BD=4-√3（4+√3の方はACに一致）
∠ABD=∠BACなので、△ABDの面積は(1/2)*BD*AB*sin(∠BAC)より
(1/2)*(4-√3)*5*(3/5)=(12-3√3)/2
よって、台形ADBCの面積=△ABCの面積＋△ABDの面積＝12
となります。

回答No.1

kagetukisou

cosAは△ABCに余弦定理を使って出します
この場合　cosA=4/5 ですかね

面積も定番ですからcosAをsinAに戻すなりして公式を適用してください。
面積＝（12+3√3）/2　でしょうか

BDはちゃんと図を書けば図を見るだけですぐ分かると思います。
図はちょっと適当ですがｗ　イメージはこんな感じです。

図からBD＝4-√3
台形の面積は12ですね